【正文】 ...................... 4 線性有界泛函 .................................................................................................................... 4 線性有界泛函與線性連續(xù)泛 函 ........................................................................................ 6 共軛空間 ........................................................................................................................... 8 4 線性有界算子 .................................................................................................................... 11 線性有界算子 定義與舉例 .............................................................................................. 11 線性有界算子與線性連續(xù)的關(guān)系 .................................................................................. 12 線性算子空間 .................................................................................................................. 14 有界性與閉性 .................................................................................................................. 16 致 謝 ........................................................................................................................................... 18 II 線性賦范空間泛函有界性研究 數(shù)學(xué)系本 1104 班 薛菊峰 指導(dǎo)教師： 何瑞強(qiáng) 摘要 ：本文研究的是線性賦范空間泛函有界性。bounded linear operator 1 1 引言 有學(xué)者在這方面已經(jīng)做了一定的研究如：李宗鐸在《線性賦范空間中幾個(gè)概念的探討》證明了當(dāng)給線性賦范空間裝備以相應(yīng)的拓?fù)?，與線性拓?fù)淇臻g體系 下所定義的線性賦范空間，有界集、線性算子的有界性等概念是等效的，同時(shí)嚴(yán)格證明了有界線性算子范數(shù)兩種規(guī)定的一致性；王艷博、張?jiān)品逶凇蛾P(guān)于泛函分析中定理的推廣》對(duì)于賦范空間 X 和 Y ，從 X 到 Y 的全體線性有界算子 ? ?YXB , 關(guān)于算子范數(shù)亦成為賦范空間，且知當(dāng) Y 是完備空間時(shí)， ? ?YXB , 也是完備的。 預(yù)備知識(shí) 命題 線性賦范空間：如果 X 是實(shí)數(shù)域（或復(fù)數(shù)域） K 上的線性空間 ， 在 X 上定義映射 ： 1 :xXR? ? ? ，如果 x y a ,XK? ? ?， ， 滿足以下三條： ??1 正定性： x 0 , x = 0 x= 0.?? ??2 正齊性： x = x?? ??3 三角不等式： x+y x y?? 則稱 x 為 x 的范數(shù)，稱 x ?（ ， ） 為線性賦范空間，簡(jiǎn)記為 X。 例 3：設(shè) ?? ?,1pL a b p? ?? 為 ?,ab?? 上 p 方 L 可積函數(shù)的全體，其中幾乎處處相等的函數(shù)視為同一函數(shù)，幾乎處處為零的函數(shù)看作零元。 ??2 因?yàn)椋?? ?,nnx x y y n? ? ? ?所以： lim 0nn xx?? ?? lim 0.nn yy?? ??于是有： . ? ? ? ? ? ?l im l im l im l im 0n n n n n nn n n nx y x y x x y y x x y y? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?從而有 ： lim ,nnn x y x y?? ? ? ?即 ? ?.nnx y x y n? ? ? ? ? l im l im 0 ,nnnnx x x x? ? ?? ? ? ?? ? ? ?‖ 即 ? ?.nx x n?? ? ? 定理 ：如果 X 是線性賦范空間， d 是由范數(shù)導(dǎo)致的距 離， 那么 0, , , ,x y z X k?? ? ?有 4 ??1 平移不變性： ? ? ? ?00, , .d x z y z d x y? ? ? ??2 絕對(duì)齊次性： ? ? ? ?, , .d x y d x y? ? ?? 證明： ??1 ? ? ? ? ? ? ? ?0 0 0 0, , .d x z y z x z y z x y d x y? ? ? ? ? ? ? ? ? (2) ? ? ? ?, , .d x y x y x y d x y? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 3 線性有界泛函與共軛空間 線性賦范空間泛函有界性在不少問(wèn)題的研究中常常起著重要的作用，又因其與連續(xù)泛函有著密切的聯(lián)系，所以對(duì)其進(jìn)行系統(tǒng)的歸納、總結(jié)十分必要。 解： 設(shè) ? ?12, , , na a a a? 是 nR 中的固定向量， ? ?12, , , nnx x x x R? ? ?，令 5 ? ? 1n iiif x a x??? 則 f 是 nR 上的線性有界泛函。 ??3 ,??? lx ? ? xxxxfiin ??? ?1s up,即 01???M ，使 ? ? .xMxf ? 所以 ??xf 是有界的。 充分性：設(shè) ??fx在 D 上有界，則 0, ,nM x D? ? ? ? ? ?0nxn? ??有 ? ? ? ?0nnf x M x n? ? ? ?從而 有 在 0 0x? 點(diǎn)連續(xù)，由定理 可知 ： ??fx在D 上連續(xù)。 例 4：設(shè) 21, XX 是線性賦范空間， ? ?????? ,3,2,1: 21 nxxT n 是線性有界算子。 ? ? ? ? ? ? ? ?l im l im l imn n nn n nf x y f x y f x f y? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?.f x f y???? 取 1N ， 當(dāng) 1m n N?? 時(shí) ， 1mnff??則 1mnff??, xX?? 有 ? ?mmf x f x? ? ?xfn 1?? ， 讓 Nn? 固定，令 ,??m 有 ? ? ? ? xfxf n 1?? ，這就證明了 f 是X 上的線性有界泛函即 ??Xf 。 推論 ：如果 X 是線性賦范空間， G 是 X 上的子空間， Xx?0 , ? ?Gxd ,0 ? 0in f0 ???? dyxGy, 那么 必 存 在 X 上的有界線性泛函 f ，滿足： ??1 ? ? .0, ??? xfGx ??2 ? ? .0 dxf ? ??3 .1?f 證明：設(shè) ? ?01 , xGspanG ? ， 由于 Gx?0 ， 故 1G 中的元素 y 可唯一地表示為0txxy ?? Gx? 。 4 線性算子 線性有界算子 命題 算子：若 21 XX， 是同一數(shù)域 K 上的兩個(gè)線性賦范空間 ， 1XD? 為某 一子集， 若 存在一種對(duì)應(yīng)的法則 T， 使對(duì)任 何 Dx? 有唯 一的 2XTxy ?? 與之 對(duì)應(yīng)， 那么就 稱 T 是 X1 中 D 到 X2 的算子。 定理 ：（線性有界與線性連續(xù)） 如果 21 XX， 是同一數(shù)域 K 上的線性賦范空間 ， 1XD? 是線性子空間， 2: XDT ? 的線性算子， 那么 T 在 D 上連續(xù)等價(jià)于 T 在 D上有界。 證明：設(shè) ? ? nn Rxxxx ????? , .21 ， ? ? mm Ryyyy ????? , 21 ， 定義 ： mn RR ? 的算子 A ， 那么 A 是線性有界算子。 14 因?yàn)椋?? ? xxnxyTx nnnn ?????????? ?? 11 s ups up,所以 T 是線性有界算子。 例 3：線性積分算子的范數(shù)： 如果 ? ?tsK, 在矩形 btsa ?? , 上連續(xù)，那么 ： ? ? ??dttxtsKTx ba?? ,， 定義了 ? ? ? ?baCbaC , ? 上 的線性有界算子， 那么 有： ? ?dttsKT babsa ???? ,m a x。 證明： ? ? ? ?TGTyx nn ?? , ，當(dāng) ? ? ? ?yxTxx nn , ? 時(shí)，要證明： ? ? ? ?TGyx ?, 因?yàn)椋?? ? ? ?yxTxx nn , ? 等價(jià)于 yTxxx nn ?? , ，又因?yàn)椋???TD 是閉集，所以