【正文】 I 目 錄 1 引言 ............................................................................................................................................ 1 2 線性賦范空間 ...................................................................................................................... 1 預(yù)備知識 ........................................................................................................................... 2 線性賦范空間的一些性質(zhì) ................................................................................................ 3 3 線性有界泛函與共軛空間 ............................................................................................ 4 線性有界泛函 .................................................................................................................... 4 線性有界泛函與線性連續(xù)泛 函 ........................................................................................ 6 共軛空間 ........................................................................................................................... 8 4 線性有界算子 .................................................................................................................... 11 線性有界算子 定義與舉例 .............................................................................................. 11 線性有界算子與線性連續(xù)的關(guān)系 .................................................................................. 12 線性算子空間 .................................................................................................................. 14 有界性與閉性 .................................................................................................................. 16 致 謝 ........................................................................................................................................... 18 II 線性賦范空間泛函有界性研究 數(shù)學(xué)系本 1104 班 薛菊峰 指導(dǎo)教師： 何瑞強 摘要 ：本文研究的是線性賦范空間泛函有界性。從三個方面進(jìn)行探討：首先，闡述線性賦范空間泛函有界性、泛函連續(xù)性以及相關(guān)的知識點；然后，研究線性賦范空間泛函有界性與連續(xù)性的關(guān)系，根據(jù)兩者的等價性給出一些相關(guān)泛函理論的推導(dǎo)并給出一些相關(guān)的例題便于理解和掌握；最后，將泛函有界性推廣到兩個線性賦范空間之間，從而引入了兩個人空間之間的映射即所謂的線性有界算子。因此對線性賦范空間泛函有界性的研究是很有必要的，它有助于 研究者 的掌握和應(yīng)用。 關(guān)鍵詞 ：線性賦范空間；線性有界泛函；線性連續(xù)泛函；線性有界算 子 Normed linear space bounded functional studies Xue Jufeng Class 1104, Mathematics Department Tutor:He Ruiqiang Abstract:This paper studies is a normed linear space functional on the discussion from three aspects:first of all,this is a normed linear space functional continuity and boundedness,functional and related knowledge。then,relationship between bounded and continuous on normed linear space function,according to the equivalence of some related functional theory is derived and some related problems easy to understand and master。 finally,the functional boundedness is extended to two linear normed space,then the mapping between the two personal space is called bounded linear the normed linear space of bounded functional of is very necessary,it is to grasp and study help beginners. Keywords:linear normed space。bounded linear functional。continuous linear functional。bounded linear operator 1 1 引言 有學(xué)者在這方面已經(jīng)做了一定的研究如：李宗鐸在《線性賦范空間中幾個概念的探討》證明了當(dāng)給線性賦范空間裝備以相應(yīng)的拓?fù)洌c線性拓?fù)淇臻g體系 下所定義的線性賦范空間，有界集、線性算子的有界性等概念是等效的，同時嚴(yán)格證明了有界線性算子范數(shù)兩種規(guī)定的一致性；王艷博、張云峰在《關(guān)于泛函分析中定理的推廣》對于賦范空間 X 和 Y ，從 X 到 Y 的全體線性有界算子 ? ?YXB , 關(guān)于算子范數(shù)亦成為賦范空間，且知當(dāng) Y 是完備空間時， ? ?YXB , 也是完備的。在更廣泛的空間類 賦準(zhǔn) P 范數(shù)空間中，推廣了上述的結(jié)果；李曉愛在《線性賦范空間上泛函列的一致連續(xù)性定理 》定義了在線性賦范空間 X 上泛函序列 ??nf 強一致連續(xù)，弱一致連續(xù)和一致收斂的概念，得出了泛函序列 ??nf 強一致連續(xù)必弱一致連續(xù)；并證明了定義在線性賦范空間 X 上的泛函序列 ??nf 弱一致連續(xù)且又是一致收斂序 列時，在 X 上必強一致連續(xù)；定義在線性賦范空間 X 的有界子集 D 上的強一致連續(xù)泛函序列 ??nf ，若滿足 ? ????? nffn 0 ，則序列是一致收斂的。但總的說來討論得還不夠系統(tǒng)也不夠透徹，本課題在原有研究的基礎(chǔ)上進(jìn)行了更多方面的研究，更加系統(tǒng)地對線性賦范空間泛函有界性進(jìn)行闡述。 本文主要探討了 線性賦范空間泛函有界性的一些性質(zhì)以及泛函有界性在相關(guān)泛函理論方面的推導(dǎo)，全文共分為四個部分。第 1 章介紹了線性賦范空間泛函有界性的發(fā)展概述及問題的提出，以及本論文的主要內(nèi)容；第 2 章闡述了與線性賦范空間泛函有界性相關(guān)的的一些概念以及其它一些有界性相關(guān)的性質(zhì)；第 3章談?wù)摿司€性賦范空間泛函有界性與泛函連續(xù)性之間的等價關(guān)系，并給出相關(guān)的例題進(jìn)行兩者之間的等價變換；第 4 章推廣泛函有界性到兩個賦范空間中去，得出一些線性有界算子的結(jié)論。 2 線性賦范空間 在距離空間中我們引入了點列的極限，點列的極限是微積分中數(shù)列極限 在抽象空間中的推廣，但是只有距離結(jié)構(gòu)沒有代數(shù)結(jié)構(gòu)的空間在應(yīng)用時受到許多的限制。事實上，應(yīng)用最多的空間如 nR 、 ? pa b lC?? ， 、 等等。這些空間中的元素不僅可以定義距離還可以定義某些代數(shù)運算，本部分主要介紹線性賦范空間，它較距 2 離空間有明顯的優(yōu)越性。 預(yù)備知識 命題 線性賦范空間：如果 X 是實數(shù)域（或復(fù)數(shù)域） K 上的線性空間 ， 在 X 上定義映射 ： 1 :xXR? ? ? ，如果 x y a ,XK? ? ?， ， 滿足以下三條： ??1 正定性： x 0 , x = 0 x= 0.?? ??2 正齊性： x = x?? ??3 三角不等式： x+y x y?? 則稱 x 為 x 的范數(shù)，稱 x ?（ ， ） 為線性賦