【正文】 ............ 1 預(yù)備知識(shí) ........................................................................................................................... 2 線(xiàn)性賦范空間的一些性質(zhì) ................................................................................................ 3 3 線(xiàn)性有界泛函與共軛空間 ............................................................................................ 4 線(xiàn)性有界泛函 .................................................................................................................... 4 線(xiàn)性有界泛函與線(xiàn)性連續(xù)泛 函 ........................................................................................ 6 共軛空間 ........................................................................................................................... 8 4 線(xiàn)性有界算子 .................................................................................................................... 11 線(xiàn)性有界算子 定義與舉例 .............................................................................................. 11 線(xiàn)性有界算子與線(xiàn)性連續(xù)的關(guān)系 .................................................................................. 12 線(xiàn)性算子空間 .................................................................................................................. 14 有界性與閉性 .................................................................................................................. 16 致 謝 ........................................................................................................................................... 18 II 線(xiàn)性賦范空間泛函有界性研究 數(shù)學(xué)系本 1104 班 薛菊峰 指導(dǎo)教師： 何瑞強(qiáng) 摘要 ：本文研究的是線(xiàn)性賦范空間泛函有界性。這些空間中的元素不僅可以定義距離還可以定義某些代數(shù)運(yùn)算，本部分主要介紹線(xiàn)性賦范空間，它較距 2 離空間有明顯的優(yōu)越性。 證明： ??1 因?yàn)椋?= x ,n n nx x x x x x? ? ? ? ?? ?0,nx x n? ? ? ?取 1?? 由? ?0 n ,nxx? ? ? ?故 ,N? 當(dāng) nN? 時(shí)有 1nxx??，所以 ： 當(dāng) nN? 時(shí)有1nxx??取 ? ?12m a x , , , , 1 ,NM x x x x??對(duì)每個(gè) n,有 ? ?,nnd x x M? ??即 ? ?nx 有界。 例 4：證明通過(guò) ? ? ? ? ? ? ???? lxxnxxf jn ,固定 ,定義 ?l 上為線(xiàn)性泛函，問(wèn)： ??xf 是 有界的嗎？ 證明： ??1 1: Rlf ?? 是泛函； ??2 , ????? lyxk?? 則 ? ? nn yxyxf ???? ??? ? ? ? ?.yfxf ?? ?? 所以 ??xf 是線(xiàn)性的。例如：取 ? ?baCX ,?? , ? ?baCY ,? , ??txTx ?? ,則 YXT ?: 連續(xù)，若 0?Tx , 則 ?? ctx ? , ? ? ? ?? ?1RctxxTN ??? 是閉集，但 T 是無(wú)界算子。 （特別指出：泛恩 巴拿赫定理既保證了最小范數(shù)延拓的存在性又指出了這 10 個(gè)最佳延拓的范數(shù)就是 f 的范數(shù)） 推論 ：（有界線(xiàn)性泛函足夠多定理） 如 果 X 是一線(xiàn)性賦范空間，對(duì)任何， Xx?0 ， 00?x ， 那么必存在 X 上的線(xiàn)性連續(xù)泛函 f 滿(mǎn)足： ??1 ? ? 00 xxf ? ??2 1?f 證明：若 ? ?kttxG ?? 0 ， 則 G 是由 0x 張成的子空間，其中 Xx?0 ， 00?x ，那么在 G 上定義泛函如下： ? ? 0xtx ?? ， Gtxx ?? 0 ，顯然 有 ? ? 00 xx ?? ，? ? xtxxtx ??? 00? ， Gtxx ??? 0 ，從而 有： 1?G? ，根據(jù) HahnBanach（延拓定理），可以把 G 上的線(xiàn)性有界泛函 ??x? 延拓到 X 上得到 f ，且有 ?Xf 1?G? 。 線(xiàn)性有界算子與線(xiàn)性連續(xù)的關(guān)系 命題 如果 ? ? 21: XXDT ?? 是線(xiàn)性算子， 那么 T 在 D 上連續(xù)等價(jià)于 T 在某一 點(diǎn) Dx?0 上連續(xù)。下證 T 是有界的。特別地：當(dāng) ??TD ? 1X 時(shí)， T 是閉線(xiàn)性算子。 最后，我要感謝我的家人，他們的鼓勵(lì)與關(guān)懷給我的生活提供了無(wú)窮的動(dòng)力與源泉，促使我不斷進(jìn)步。 證明：必要性： ? ? ? ?yxTxx nn , ?? 當(dāng) ? ? ? ?yxTxx nn , ? 時(shí)，明顯的有： yTxxx nn ?? , ，由條件知 ? ?TDxn?? 且 yxT ? ，那么有 ： ? ? ? ?Txxyx , ? ? ??TG ，即 ??TG 中每一收斂點(diǎn)斂的極限均存在 ??TG 中，從而有 ??TG 是閉集即 T 是閉算子。讓 ??? ??minj ijaM 1 12 ， 可知 ： A 是線(xiàn)性有界算子。 ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? 1k e r ?????? TTxDxTTN 那么 稱(chēng) T 為 零空間（或核）。 ??2 pl 的共軛空間為 ql （ 111,1 ??????qpp， p 、 q 互為共軛指數(shù)）。 又 由于 ??fx ? ? ? ? ? ? ? ?m a x .b b ba a aa t bx t d t x t d t x t d t b a x??? ? ? ? ?? ? ?所以 ??fx是 ?,Cab?? 上的線(xiàn)性有界泛函（或線(xiàn)性連續(xù)泛函）。 ? ?不全為零， ?? 證明： ? ?baCyxknm , ???? ??1 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?dttytyndttytxmdttytnymxnymxf bababa 000 ??? ????? ? ? ? ?.ynfxmf ?? 所以 ??xf 是線(xiàn)性的。如果 X 是線(xiàn)性賦范空間， ??nx 是 X中的點(diǎn)列 ， ,xX? 若 lim 0nn xx?? ??就稱(chēng) ??nx 依范數(shù)收斂于 x。 本文主要探討了 線(xiàn)性賦范空間泛函有界性的一些性質(zhì)以及泛函有界性在相關(guān)泛函理論方面的推導(dǎo)，全文共分為四個(gè)部分。then,relationship between bounded and continuous on normed linear space function,according to the equivalence of some related functional theory is derived and some related problems easy to understand and master。 分析 ： xypl??， ， ? ?1, 2 ny y y y? K?? 加法： ? ?1 1 2 2,x y x y x y? ? ? ? 數(shù)乘 : ? ?12, nx x x x? ? ? ?? 從而 pl 是線(xiàn)性空間。 例 1：區(qū)別線(xiàn)性有界與微積分中的有界概念的不同。 充分性：設(shè) ? ? ? ?, x D , x ,nnx D x n? ? ? ? ?則 00nx x x? ? ? ? ?.n?? ??fx在 0xD? 連續(xù) .于是 有 ? ? ? ? ? ? ? ?nnf x x x f x f x f x? ? ? ? ? ? ?.n?? 那么有 ? ? ? ?? ?nf x f x n? ? ?即 ??fx在 x 點(diǎn)連續(xù)，因此 ??fx在 D 上連續(xù)。 證明：因?yàn)?： ? ?supxfxf x???所以 ： ??fx是 ? ? ? ?fx xx ??的上界，所