【正文】 數(shù)學上，高斯消元法是線性代數(shù)規(guī)劃中的一個算法，可用來為線性方程組求解。 三、 實驗內(nèi)容 1 許多科學應用包含的矩陣帶有很多的零。 2 求解線性方程組 AX=B，其中 A=[aij]NN， ,aij=ij1；而且 B=[bij]N1， b11=N，當 i≥時， bij=(iN1)/(i1)。 aN2xN2+dN1xN1+cN1xN =bN1 aN1xN1+dNxN =bN （ i） 根據(jù)方程組（ 1），式（ 2）和式（ 3），設計一個算法來求解上述方程組。 方程組（ 1）的結(jié)果為12341322xxxx??? ??? ??? ???，方程組（ 2）的結(jié)果為12342321xxxx??? ??? ???? ??。 4 實驗描述： （ 1）本實驗的目的為使用高斯 — 賽德爾迭代求解帶狀方程組； （ 2）由于 實驗中的帶狀方程有極強的稀疏性和相似性，故編程時應考慮該矩陣的以上特點以減少運算量及運行時占用的內(nèi)存； （ 3）為了減少程序的運行次數(shù)，故選擇式（ 3）作為運行的程序； （ 4）應無明確的結(jié)束標志，故選擇 delta= 1xkkiix? ? 1e5 作為結(jié)束迭代的標志，此時再進行一輪迭代后輸出結(jié)果。 //此函數(shù)用于計算矩陣的解 float *uptrbk(float **A,int N) { float c。 x[n]=A[n][N]/A[n][n]。k=N。 float *lufact(float**,float*,int)。 coutx的值為 a： endl。j++) { c=U[j][i]/U[i][i]。 x[i]=y[i]/U[i][i]。 coutx的值為： endl。j=N。j) y[i]=y[i]x[j]*U[i][j]。 //生成元素個數(shù)為 N的動態(tài)矩陣 B N=N+1。 float **invA=new float *[N]。i++) //判斷 A是否存 在逆矩陣 { if(LU[i][i]==0) { cout矩陣 A不存在逆矩陣！ endl。 float c。 } for(j=i+1。 for(i=0。 }。 cout請輸入的循環(huán)個數(shù)及序列 ： 。 double *X=new double [N1]。ji。 }。 cout請輸入的循環(huán)個數(shù)及序列 ： 。 double *X=new double [N1]。ji。 //計算兩次計算的相對誤差 } return X。iN。 return 0。 cout請輸入系數(shù)元素的序列： 。 //計算兩次計算的相對誤差 } return X。iN。 return 0。 cout請輸入系數(shù)元素的序列： 。 } return x。 for(i=0。 a=B[i]。 coutendl。i++) B[i]=i。 //輸入矩陣的階數(shù) N，用于生成動態(tài)矩陣 cinN。j++) A[i][j]=pow(double(i+1),j)。 } for(i=N。 //生 成 用于保存中間值的列矩陣Y U=A。 N=N1。i=0。 for(i=0。 //生 成動態(tài)矩陣 B for(i=0。 cout請輸入矩陣的階數(shù)： 。 cout請輸入增廣矩陣的值 endl。 } x[N1]=A[N1][N]/A[N1][N1]。A(2,3:4)*P(3:4))/A(2,2) j==N1 X(N1)=(B(N1)A(N1,N3:N2)*X(N3:N2)39。 3 實驗描述： （ 1）本次實驗的目的為求解 A 的逆矩陣 A1，求解方法為利用 A[C1 C2 … CN]=[E1 E2 … EN] ， A1=[C1 C2 … CN]求解 ， 故可將之分解為對于ACk=Ek， k=1， 2， 3， 12x1 2x2+x3 =5 2x1+12x22x3+x4 =5 x12x2+12x32x4+x5=5 x22x3+12x42x5+x6=5 +aNNxN=bN ( 1)kjx? = ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 研究雅可比迭代法，我們發(fā)現(xiàn)在逐個求 ）（ 1kX? 的分量時，當計算到 ）（ 1kiX? 時 ,分量 ）（ 1k1X? ， ......， ）（ 1k1iX? 都已經(jīng)求得，而仍用舊分量 k1X ， ......， ）（ k1iX 計算 ）（ 1kiX? 。關于線性方程組的數(shù)值解法一般有兩類：直接法和迭代法。 對一般的 n 階方程組，消去過程分 n1 步：第一步消去 11a 下方元素。 a1jxj+ N P))。 N 的求解方法使用 LU 三角分解法求 《數(shù)值方法》實驗報告 12 解，用此方法求解出各個 Ek 對應的 Ck，最后以此構(gòu)成 A1； (4)求出 LU 后，應判斷矩陣對角線上是否存在為 0 的元素，若存在，則 A 不存在逆矩陣；若不存在，則可求解逆矩陣 A1； (5)上述方法中的 LU 分解只需要進行一次； (6)對于程序的正確性使用矩陣 1 3 22 6 4251??????及矩陣 1 2 32132 3 1??????進行驗證，其中，矩陣 1 3 22 6 4251??????不存在逆矩陣，矩陣 1 2 32132 3 1??????的逆矩陣為 66 7 0 .58 33 5 33 3 16 7 0 .25 33 3 0 .08 33 5?????? 實驗結(jié)果： （ 1）輸入為矩陣 1 3 22 6 4251?????? 圖 7 （ 2） 輸入 矩陣為 1 2 32132 3 1?????? 《數(shù)值方法》實驗報告 13 圖 8 實驗結(jié)論： 如果系數(shù)矩陣能分解為 LU的形式，其中 L為下三角矩陣， U為上三角矩陣，通過對系數(shù)矩陣的分解再求解可應用簡單的迭代進行求解 x。 p=1 N=length(B)。n++) //進行高斯 消元法計算 x[k]， k=1， 2，3 int i,k。iN。 cout請輸入矩陣 A的值： endl。 return 0。 } } for(i=0。 double **A。 return 0。 U[j][i]=c。 //生成二維動態(tài)數(shù)組A[N1][N1] for(i=0。 return B。 //輸入矩陣 A的值 for(i=0。i++) //若存在求解逆矩陣 invA[i]=LUsave(LU,B[i],i,N)。i=N。k++) LU[j][k]=LU[j][k]c*LU[i][k]。 y[i]=B[i]。 double *X=new double [N1]。i++) cin[i]。 double delta=1e6。j=i+deltan。 double *X=new double [N1]。i++) cin[i]。 double delta=1e6。j=i+deltan。 m++。 bool run=true。 //求解方程組 cout方程組的解為： endl。 cout請輸入矩陣的每行最大元素數(shù)： 。 m++。 bool run=true。 //求解方程組 cout方程組的解為： endl。 cout請輸入矩陣的每行最大元素數(shù)： 。i=0。 } } return LU。 while(LU[i][i]==0amp。 //輸出矩陣 A的逆矩陣 for(i=0。i++) for(j=0。 //實驗的 main函數(shù) int main() { int N,i,j。i++) A[i]=new double [N]。i=N。 double c。 double **buildA(int)。i++)