【正文】 。正是由于他們的指導(dǎo)，我才能在各個方面取得顯著的進步，在此我向他們表示衷心的感謝，并祝老師們培養(yǎng)出越來越多的優(yōu)秀人才，桃李滿天下！ 再次，我要感謝和我一同度過大學(xué)學(xué)習(xí)生涯的同窗好友閆芹娟、鄧美蘭、曹海琴、程文、 王璦玲、景娟對我的關(guān)心與幫助。在大學(xué)期間，何老師給我們上的各種課程，給予我們很多的知識，體現(xiàn)何老師淵博的專業(yè)知識 和嚴謹?shù)闹螌W(xué)態(tài)度；在修改論文時總是犧牲他的休息時間，他的這種無私奉獻的敬業(yè)精神令人欽佩，在生活中何老師的為人對我的論文寫作乃至我人生都有一定的積極影響，在此我向他表示我誠摯的謝意。 下 面 證 明 ： T 是閉算子， 設(shè) ? ?TDxn? 且 yTxxx nn ?? , ， 由于 ? ?10，C 中的收斂是函數(shù)列的一致收斂，由 ? ? ? ? ? ?tytTxtx nn ??? 即 ??txn? 在 ? ?10，C 中是一致收斂于??ty 的 ， 因此 有： ? ? ? ? ? ? ?????? dxdxdy t nnnt nt ??? ???? ???? 000 l i ml i m ? ? ? ?? ????? 0lim nnn xt ?? ? ?0xtx ? ， 即 ? ? ? ? ? ? ?? dyxtx t??? 00 ，從而有 ? ?TDxn? 且 yxTx ??? ，由 引理 知： T 是閉線性算子。 例 1： 令 ? ?10，CX? ， ? ? ? ? ? ?? ?1,0CtxXxTD ???? ，定義 ? ? ? ?10: ，CXTDT ?? 如下： ? ?TDxn?? ， ? ? ??txxT ?? ， 證明： T 是無界的，但 T 是閉線性算子。從而 有 Txy? 。 證明： ? ? ? ?TGTyx nn ?? , ，當 ? ? ? ?yxTxx nn , ? 時，要證明： ? ? ? ?TGyx ?, 因為： ? ? ? ?yxTxx nn , ? 等價于 yTxxx nn ?? , ，又因為： ??TD 是閉集，所以 ? ?TDx? 。下面我們來研究有界性與閉性的關(guān)系即有界線性算子在什么條件下是閉線性算子？閉線性算子在什么條件下是有界線性算子？ 定理 ： 如果 ? ? 21: XXDT ?? 是線性有界算子， 若 ??TD 是 1X 的閉線性子空 間，那么 T 為閉線性算子。 充分性：如果 T 是閉算子，那么當 ? ?TDxn?? ， yTxxx nn ?? , 時，明 16 顯的有 ? ? ? ?TGTxx nn ? )，而且在乘積空間 21 XX? 中有 ? ? ? ?yxTxx nn , ? ，又因為??TG 是 21 XX? 中的閉集，所以 ? ? ? ?Txxyx , ? ? ??TG 即 ? ?TDxn?? 時 有 Txy? 。 引理 (閉算子的等價條件 )： 如果 21 XX， 是線性賦范空間， ? ? 21: XXTDT ?? 是線性算子，那么 T 是閉算子等價于 ? ?TDxn?? ，當 yTxxx nn ?? , 時必有 ??TDx? 而且 yxT ? 。 例 3：線性積分算子的范數(shù)： 如果 ? ?tsK, 在矩形 btsa ?? , 上連續(xù)，那么 ： ? ? ??dttxtsKTx ba?? ,， 定義了 ? ? ? ?baCbaC , ? 上 的線性有界算子， 那么 有： ? ?dttsKT babsa ???? ,m a x。 TM? ,又因為 ： ? ?MT ?1 ,所以： TT ?1 . ??1 ??2 因為： ? ?XxMMxTxMT ???? ,0,:i nf , 15 記?????????? ???? 0,:inf xMxTxMT ,明顯地有 ??TT 及 xTxT ?? , 而 1T 為??????????xTx 的上確界 ， 即是??????????xTx 上界中的最小者， 所以 1TT ?? ，因此： 1TT ? . ??2 由 ????2 可得： 1TT ? . 例 2：設(shè) ? ?YXBT ,? ，證明：對 1??r ，存在 ? ?rBx ,?? 使得 TTx? 。 算子范數(shù)：如果 T 是線性賦范空間 X 到線性賦范空間 Y 的有界線性算 子， 能夠 使： xMTx ? ‖對一切 Xx? 都成立的正數(shù) M 的下確界，稱為算子 T 的范數(shù)，記為 T ，即 ? ?XxMMxTxMT ???? ,0,:i nf 。 命題 線性有界算子空間： 如果 YX, 是數(shù)域 K 上的賦范線性空間， 那么 X 到 Y中的有界線性算子的全體記作： ? ?YXB , 。 14 因為： ? ? xxnxyTx nnnn ?????????? ?? 11 s ups up,所以 T 是線性有界算子。 例 5：證明：通過 ? ? ?????? ??????????????? ,2,1, 2121 nxxxyxxxx nn定義的算子 ???llT: 是線性有界的，并求 T . 證明： T 顯然是線性的。 例 4：用 1C ??10， 表示 ??10， 上 的 連續(xù)可微函數(shù)的全體， 那么 1C ??10， 是 C ??10， 的 線性 子空間定義 :T 1C ? ?ba, ? C ??10， 如下： ??x 1C ??10， ， ???? txTx ， 證明： T 是 線性無界算子。取 nR 中的范數(shù)為 2112 ??????? ??ni ixx ， Axy? 用分量表示為 ? ?mixay jnj iji ,2,11 ????? ??，應(yīng)用柯西不等式： 21 122 ? ?? ? ?????????? minj jijxayAx ..2121122112? ??? ?? ??????????????????????????? minjjnjij xa? 21 12 xaminj ij ??????????? ?。 證明：設(shè) ? ? nn Rxxxx ????? , .21 ， ? ? mm Ryyyy ????? , 21 ， 定義 ： mn RR ? 的算子 A ， 那么 A 是線性有界算子。 ??2? ? ? ? ? ? ? ? ???? dxdxTx tabattabat ?? ?? ?? , m a xm a x ? ?xabdxba ??? ? ? 由 ??1 、 ??2 可知： T 是線性有界算子。 13 例 2： ? ? ? ?baCbaCT ,: ? ，定義為： ? ?baCx ,?? ， ? ? ?? dxTx ta??， ? ?bat ,?? 證明： T 是線性有界算子。 證明 : KXyx ??? ?? , ， 有 ? ? ? ?yxayxT ??? ???? = ? ? ? ?ayax ?? ? ? TyTx ?? ? 。 定理 ：（線性有界與線性連續(xù)） 如果 21 XX， 是同一數(shù)域 K 上的線性賦范空間 ， 1XD? 是線性子空間， 2: XDT ? 的線性算子， 那么 T 在 D 上連續(xù)等價于 T 在 D上有界。 命題 算子連續(xù)： 如果 ? ? 21 XXDD ?? ， Dx?0 ， 若 對任意 0?? ，存在 0?? ， 使得當 ??? 0xx 時 ， 有 ??? 0TxTx ， 那么 稱 T 在 0x 點連續(xù)； 若 T 在 D 的 每一點都連續(xù)， 那么 稱 T 在 D 上連續(xù)。 注： ??1 ??TR 是 Y 的線性子空間， ??TN 是 X 的線性子空間。 D 為 T 上的線 性算子， 記 為 ??TD ； ? ? ? ?? ?TDxTxyyTR ??? ,是 T 的值域。 4 線性算子 線性有界算子 命題 算子：若 21 XX， 是同一數(shù)域 K 上的兩個線性賦范空間 ， 1XD? 為某 一子集， 若 存在一種對應(yīng)的法則 T， 使對任 何 Dx? 有唯 一的 2XTxy ?? 與之 對應(yīng)， 那么就 稱 T 是 X1 中 D 到 X2 的算子。 ??3 推廣的劉維爾定理： 如果 X 是復(fù) 的巴拿赫空間， XCx ?: 是有界整函數(shù)，那么 ： ? ?zxCz ,?? 為常數(shù)。 因為 ???????? ?????? ????? xtxttxxy 100 dt? ， ? ? ? ? .0 ydttdtxxy ????? ?? 于是 ??x? 是有界的 ， 且 11 ?G? 11 另一方面：由 d 的定義 ， 則可取一列 ? ? Gxn ? ,使0lim nnd x x????于是 有：? ? ? ? ? ? ? ? 000 1 xxdxxxxx nGnn ???????? ????? ， 當 ??n 時 ， 有 ?d1G?d ， 從而有 11 ?G?，所以 11 ?G?，由 HahnBanach 定理，把泛函 ? 延拓到全空間 X 得 f ，則 f 滿足： ??1 ? ? ? ? ,0, ???? xxfGx ?； ??2 ? ? ? ? .00 dxxf ??? ??3 .11?? GXf ? 命題 延拓定理的幾點應(yīng)用：