數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文euclid空間上的線性泛函的內(nèi)積刻畫及推廣汪朋(參考版)
2025-01-19 15:58本頁(yè)面
【正文】 Zerospace目 錄0 引言 …………………………………………………………………………… 341 預(yù)備知識(shí)及引理 ……………………………………………………………… 452 主要結(jié)果……………………………………………………………………… 513 Euclid空間上線性泛函的內(nèi)積刻畫 …………………………………… 59 Euclid空間上不能用內(nèi)積刻畫的線性泛函的存在性 ……………… 910 雙線性函數(shù)的內(nèi)積刻畫 ………………………………………………1013參考文獻(xiàn) ………………………………………………………………………… 13致謝………………………………………………………………………………… 130 引言 Cauchy曾用函數(shù)方程給出了實(shí)數(shù)域上的線性函數(shù)的公理化定義，該定義基于以下命題得到： 命題1 設(shè)是實(shí)數(shù)域到的一個(gè)連續(xù)函數(shù)，若對(duì)，有，則，這里為常數(shù).“是連續(xù)函數(shù)”這一假設(shè)，并利用連續(xù)函數(shù)的延拓原理進(jìn)行了新的證明.把線性函數(shù)這一概念拓廣到一般的線性空間上，就是如下：定義1 設(shè)是數(shù)域上的一個(gè)線性空間，映射稱為上的線性函數(shù)，如果滿足1）；2），式中是中任意元素，是中任意數(shù).在上述定義中當(dāng)為實(shí)數(shù)域或復(fù)數(shù)域時(shí)，我們也把稱為上的線性泛函.在三維幾何空間中，當(dāng)為常向量，而為變向量時(shí)，數(shù)量積（內(nèi)積）可視為函數(shù)，記是中任意向量，是中一固定向量，易證是上的一個(gè)線性泛函. ，對(duì)Hilbert空間上的連續(xù)線性泛函進(jìn)行了一般性的刻畫： 設(shè)是Hilbert空間上的一個(gè)連續(xù)線性泛函，則必存在唯一的，使得，有.本文將在一般意義上考慮內(nèi)積空間上的線性泛函，研究在怎樣的情形下，內(nèi)積空間上的線性泛函才能用內(nèi)積來(lái)刻畫，這種刻畫是否唯一，并將結(jié)論進(jìn)一步推廣到雙線性函數(shù)的情形.在本文中用表示內(nèi)積，表示實(shí)數(shù)域，表示正整數(shù)集，表示的維數(shù)，表示范數(shù)，表示正交，表示直和，表示生成子空間.1 預(yù)備知識(shí)及引理定義2 是數(shù)域上的線性空間，是上的線性函數(shù)，稱為在上的零空間，簡(jiǎn)稱的零空間.容易驗(yàn)證，是的子空間.定義3 和是數(shù)域上的兩個(gè)線性空間，是的映射，如果滿足1)；2)，其中是中任意向量，是中任意向量，是中任意數(shù)，則稱是一個(gè)雙線性函數(shù).在定義3中，如果，我們?cè)诹?xí)慣上也稱是上的雙線性函數(shù).定義4 和是數(shù)域上的兩個(gè)線性空間，為到的映射，如果及數(shù)，有1) ；2) ，則稱為到的線性算子.特別地，在定義4中，當(dāng)時(shí)，就是定義中所說(shuō)的上的線性函數(shù)；當(dāng)
環(huán)評(píng)公示相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1