【正文】 其次，我要感謝所有任課老師在這四年來給自己悉心教導，是他們教給我專業(yè)知識，教導我如何學習，教會我如何做人。由于： T 是有界的，則 TxTxnn ???lim 。 定理 算子圖像： 如果 21 XX， 是 線性賦范空間， ? ? 21: XXTDT ?? 是線性算 子，如果 T 的圖像 ? ? ? ? ? ?? ?TDxTxyyxTG ??? , 是乘積空間 21 XX? 中的閉集， 那么稱 T 是閉線性 算子（簡稱 為 閉算子）。且 1?T , ??1 特別地?。?? ? ????????? lx ,0,0,0,10 ,則 10 ?x , 1s u p001 ???? ? yTxTxT x,從而有 : 1?T ??2 由 ??1 、 ??2 可知 ： .1?T 線性算子空間 命題 線性算子空間： 如果 21 XX， 是同一數(shù)域 K 上的線性賦范空間， 那么 把 21 XX? 的一切線性算子構(gòu)成的集合稱為 21 XX ? 的線性算子空間，記為 ? ?21 XX? 即： ? ?21 XX ? ? ?的線性算子是 21 XXTT ?? 。易證 明 A 是線 性算子，下 面 證 明 A 是有界的 。（這就 是 說在研究線性賦范空間有界性時可以研究其上的連續(xù)性） 例 1： 如果 X 是線性賦范空間， ? 是某一常數(shù)， Xx?? ，令 axTx? ，證明： T 是 XX? 的線性有界算子。（或者稱為映射） 12 命題 線性算子： 如果 21 XX， 是同一 數(shù)域 K 上的兩個線性賦范空間， D 是 1X 的線性子空間， 設 2: XDT ? ， 若 對于任何 21 XX， D? ， K???, ， 有 . ? ? ? ? ? ?2121 xTxTxxT ???? ??? ， 那么稱 T 為 D 上的線性算子。 在 1G 上 作 泛 函 ? ， ? ? ? ? tdtxxy ??? 0?? ，, 111 GyxR ???? ， ?? ? ? ? ? ?????? 0011 txxtxxyx ???????? ? ? ? ?? ?0txx ????? ??? ? ? ? ? ? ?11 yxtdtdtd ???????? ?????? 。 下面證明： ??nf 依范數(shù)收斂于 ??fx，在（ 1）式中令 ,??m ， Nn? 固 定得： ? ? ? ? xxfxf n ??? ，由范數(shù)定義可知：當 Nn? 時 ， ??? nff 即 ? ???? nffn 。證明： 如果 TTn? ,則對任何給定閉球中的一切 x ,存在 N ,當 Nn? 時有 ???TxxTn . 證明：設 M 是給定的閉球并置于球 ? ?RxxB ?? 之中，由于 TTn? ,那么對于 0?? ，存在 N , 當 Nn? 時有 RTTn ???, 所以 Bx?? 有：?? ????? RRxTTTxxT nn .即命題得證。 例 1： ,xX?? 定義 ? ? 0x? ? ，則 ? 是 X 上的線性連續(xù)泛函，稱為零泛函。 命題 線性連續(xù)： 如果 ? ? 1:f D X R??（或復數(shù)域 C）是線性泛 函且 ??fx在 D 上連續(xù)，那么就稱 ??fx是 D 上的線性連續(xù)泛函。 證明 ??1 f ： 1nRR? 泛函 ??2 ? ? ? ?1, , x , y ,nni i iiK R f x y x y a? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?11 .nni i i iiia x a y f x f y? ? ? ???? ? ? ??? 線性泛函 ??3 ? ? 1122221 1 1 1n n n ni i i i i ii i i if x a x a x a x? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?（ Holder 不等式） ax? 取 : ,Ma? ,nx R M a? ? ? ?使 ? ? .f x M x? 線性有界泛函 由 ??1 、 ??2 、 ??3 可知： ??fx是 nR 上的線性有界泛函。 線性有界泛函 命題 線性泛函：如果 X 是實數(shù)（或復）數(shù)域 K 上的賦范空間， D 是 X 上 的線性子空間， :D K,f ? 若 f 滿足 ： , K , x, y D ,??? ? ? 有 ? ? ? ? ? ? .f x y f x f y? ? ? ?? ? ? 那么就 稱 f 是 D 上的一個線性泛函，稱 D 為 f 的定義域， ? ? ? ?? ?f D f x x D??為 f 的值域。對通常的加法、數(shù)乘 3 ?? ?,1pL a b p? ?? 構(gòu)成線性空間，在 ?? ?,1pL a b p? ?? 中定義范數(shù) : ? ?? ? 1b ppax x t dt? ?容易驗證 x 是范數(shù)，故 ?? ?,1pL a b p? ?? 是線性賦范空間。通常稱定義中的條件（ 1）、（ 2）、（ 3）為范數(shù)公理。在更廣泛的空間類 賦準 P 范數(shù)空間中，推廣了上述的結(jié)果；李曉愛在《線性賦范空間上泛函列的一致連續(xù)性定理 》定義了在線性賦范空間 X 上泛函序列 ??nf 強一致連續(xù)，弱一致連續(xù)和一致收斂的概念，得出了泛函序列 ??nf 強一致連續(xù)必弱一致連續(xù)；并證明了定義在線性賦范空間 X 上的泛函序列 ??nf 弱一致連續(xù)且又是一致收斂序 列時，在 X 上必強一致連續(xù)；定義在線性賦范空間 X 的有界子集 D 上的強一致連續(xù)泛函序列 ??nf ，若滿足 ? ????? nffn 0 ，則序列是一致收斂的。從三個方面進行探討：首先，闡述線性賦范空間泛函有界性、泛函連續(xù)性以及相關的知識點；然后，研究線性賦范空間泛函有界性與連續(xù)性的關系，根據(jù)兩者的等價性給出一些相關泛函理論的推導并給出一些相關的例題便于理解和掌握；最后，將泛函有界性推廣到兩個線性賦范空間之間，從而引入了兩個人空間之間的映射即所謂的線性有界算子。bounded linear functional。事實上，應用最多的空間如 nR 、 ? pa b lC?? ， 、 等等。 故 : pl 是線性賦范空間。 ??3 范數(shù)的連續(xù)性：范數(shù) x 是 x 的連續(xù)函數(shù)。事實上： 11, , x , y ,RR??? ? ? ? ? ? ? ? ? .f x y x y f x f y? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 那么 11, ,M x R? ? ? ? ? ? .f x x M x M x? ? ?所以 ??fx是 R1 上的線 性有界泛函。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?bxaxbxaxxg ???? ???? ? ? ? ?txtxbtabta ???? ?? m a xm a x ?? ? ? ? ? ? ? .m a x xtxbta ???? ???? ??令 ?? ??M ,則 ? ? xMxg ? .所以 ??xg 6 是有界的。） 線性有界泛函與 線性 連續(xù)泛函 命題 ：如果 ??fx是 D 上的線性泛函，則 ??fx在 D 上連續(xù) 等價于 ??fx在 D 上有界 。 反之不真。 定理 （ X? 的完備性）： 如果 X 是線 性賦范空間， 那么 其共軛空間 X? 是 Banach 空間。 定理 （延拓定理） : 如果 X 是線性賦范空間， G 是 X 的線性子空間， f 是 G 上的任一線性有界泛函，那么可以作出 X 上線性有界泛函 F ，滿足： ??1 當 G?x 時， ? ? ? ?xfxF ? ??2 GX fF ? 其中 XF 表示 F 作為 X 上的線性泛函的范數(shù)， Gf 表示 G 上線性泛函的范數(shù)。 ??3 推廣的劉維爾定理： 如果 X 是復 的巴拿赫空間， XCx ?: 是有界整函數(shù)，那么 ： ? ?zxCz ,?? 為常數(shù)。 命題 算子連續(xù)： 如果 ? ? 21 XXDD ?? ， Dx?0 ， 若 對任意 0?? ，存在 0?? ， 使得當 ??? 0xx 時 ， 有 ??? 0TxTx ， 那么 稱 T 在 0x 點連續(xù)； 若 T 在 D 的 每一點都連續(xù)， 那么 稱 T 在 D 上連續(xù)。 ??2? ? ? ? ? ? ? ? ???? dxdxTx tabattabat ?? ?? ?? , m a xm a x ? ?xabdxba ??? ? ? 由 ??1 、 ??2 可知： T 是線性有界算子。 例 5：證明：通過 ? ? ?????? ??????????????? ,2,1, 2121 nxxxyxxxx nn定義的算子 ???llT: 是線性有界的，并求 T . 證明： T 顯然是線性的。 TM? ,又因為 ： ? ?MT ?1 ,所以： TT ?1 . ??1 ??2 因為： ? ?XxMMxTxMT ???? ,0,:i nf , 15 記?????????? ???? 0,:inf xMxTxMT ,明顯地有 ??TT 及 xTxT ?? , 而 1T 為??????????xTx 的上確界 ， 即是??????????xTx 上界中的最小者， 所以 1TT ?? ，因此： 1TT ? .