【正文】 24 4 結(jié)論 本文中我們簡略介紹了有關(guān)常微分方程以及隨機微分方程有界解存在性判定的研究背景，和主要結(jié)論的證明中會涉及的部分概。選擇一列 na ，使之收斂至 ? ,利用對角線法則 我們可以對 ??n? 抽出適當?shù)淖恿校怪?R 上所有緊區(qū)間上依分布一致收斂至 ?~ 的分布。 根據(jù)文獻 [12]第五章中關(guān)于隨機微分方程解與布朗運動的選取之間的聯(lián)系的論述我們知道 ,對任意 0tst ?? 以及定義在某個概率空間 ），（ PF,? 上的布朗運動 ),( ?tWW? ， 不妨設(shè)： ? ???? ts ts rdWrrgdrrrfst )())(,())(,()() ???? （， 為方程（ )的一個解，我們知道 ,這個解的存在是由于系數(shù)滿足條件 )(H 以及前文引述的隨機微分方程解對初值的存在性。于是利用 nF 的連續(xù)性，我們得出了矛盾：對任意 ），（ 20 0??? ，當 n 充分大，使得 ? ?nnI ,?? 時， ?????????),(),(),(),(),(),(0nnnnnnnnnnnnnn xsFxtFxtFxtF xsFxtF （ ） 從而上述 fT? ， gT? 存在。注意到，若有序列列 Ist nn ?, 以及 Sxn? ,使得 0?? nn st ，且， 22 0),(),( 0 ??? ?nnnnnn xsFxtF ， 其中 0? 為常數(shù)，則由于所有的 ),( xtFn 均于同一緊集內(nèi)取值，故 ? ?),( nnn xtF 及 ? ?),( nnn xsF 存在收斂子列，而注意到 Sxn? 以及區(qū)間 I 的緊性，因而 nt ， ns 也存在收斂子列，為符號的簡化，我們將此類收斂子列一概記為序列自身，則當 ???n 時， Sxxn ?? , Ittn ?? ,Issn ?? 。由函數(shù) f 的連續(xù)性以及數(shù)學(xué)分析的知識可知， 諸極限 ),( xtFn 仍然是連續(xù)函數(shù)，并且不難驗證，),( xtFn 仍然滿足條件 )(H 。對此，我們選擇 f 為例進行證明， gT? 的原理與此是一致的： 對任意正整數(shù) ??Zn ，顯然對區(qū)間 ? ?nn, ， ? ? Snn ?, 是乘積空間 dRR? 上的一個緊集。本文中我們證明了一個有助于判定隨機微分方程有界解判定的結(jié)論，內(nèi)容如下： 定理 設(shè)（ )的系數(shù)滿足條件 )(H ,并且在全空間上對 x 一致地滿足周期性，即，存在 0?T ，使得對任意 dRx? ， Rt? ，有 ),(),( xTtfxtf ?? ),(),( xTtgxtg ?? . （ ） 對 Rt?0 ，（ ）有定義在 ? ???,0t 上的解 ? 滿足： MtEtt ??2)(sup0? ，對某個 0?M , 則（ ）有定義在 R 上的解 ?~ ，使得， MtERt ??2)(~sup ? . 證明：由于系數(shù)滿足對時間的周期性，因而必定在一個緊集上取值。馬爾可夫過程理論的進一步發(fā)展表明，強馬爾可夫過程才是馬爾可夫過程真正研究的對象。首次提出對強馬爾可夫性需要嚴格證明的是 。具有這種性質(zhì)的馬爾可夫過程叫強馬爾可夫過程。例如考察從圓心出發(fā)的平面上的布朗運動，如果要研究首次到達圓周的時刻 ? 以前的事件和以后的事件的條件獨立性，這里 T 為停時，并且認為 T 是“現(xiàn)在”。 流形 上的馬爾可夫過程、馬爾可夫場等都是正待深入研究的領(lǐng)域。 1954 年前后， 泛函分析 中的 半群 方法引入馬爾可夫過程 的研究中，鄧肯等并賦予它概率意義（如特征算子等）。 關(guān)于馬爾可夫過程的理論研究， 1931 年 《 概率 論的解析方法》，首先將微分方程等分析方法用于這類過程，奠定了它的理論基礎(chǔ)。液體中微粒所作的布朗運動，傳染病受感染的人數(shù)，原子核中一自由電子在 電子層 中的 跳躍，人口增長過程等等都可視為馬爾可夫過程。青蛙依照它瞬間或起的念頭從一片荷葉上跳到另一片荷葉上，因為青蛙是沒有記憶的，當所處的位置已知時，它下一步跳往何處和它以往走過的路徑無關(guān)。這種已知“現(xiàn)在”的條件下，“將來”與“過去”獨立的特性稱為馬爾可夫性，具有這種性質(zhì)的隨機過程叫做馬爾可夫過程。它的原始模型 馬爾可夫鏈 ，由俄國數(shù)學(xué)家 1907 年提出。 1954 年前后， 將半群方法引入馬爾可夫過程的研究。它的原始模型 馬爾可夫鏈 ，由俄國數(shù)學(xué)家 于 1907 年提出。 19 定義 利普希茨連續(xù)條件 若存在常數(shù) L ，使得對定義域 D 的任意兩個不同的實數(shù)21,xx 均有： 2121 )()( xxLxfxf ??? 成立，則稱 )(xf 在 D 上滿足利普希茨條件， L 稱為利普希茨常數(shù)，顯然地，若 )(xf 滿足利普希茨條件，則 )(xf 一致連續(xù)。 在微分方程理論中，利普希茨條件是初值條件下解的存在唯一性定理中的一個核心條件。利普希茨命名，是一個比一致連續(xù)更強的光滑性條件。 這里 x ,y ,z 是 V 中任意向量， k 是任意 實數(shù) 。 c. ),(),( yxkgykxg ? 。具體來說， g 是 V 上的二元實值函數(shù)，滿足如下關(guān)系： a. ),(),( xygyxg ? 。歐幾里德空間是無窮大的。這一基本的概念正當化了在歐氏空間和其他流形之間的微分。歐幾里德空間在對包含了歐氏幾何和非歐幾何的 流形 的定義上發(fā)揮了作用。直覺上，區(qū)別在于對于 原點 應(yīng)當位于這個空間的什么地方?jīng)]有標準選擇，因為它可以到處移動。歐幾里得幾何的一個基本原則是，如果通過一序列的平移和旋轉(zhuǎn)可以把一個圖形變換成另一個圖形，平面的兩個圖形（也就是 子集 ）應(yīng)被認為是等價的（ 全等 ）。其一是 平移 ，它意味著移動這個平面就使得所有點都以相同方向移動相同距離。還另存在其他種類的空間， 18 例如 球面 則非歐幾里得空間， 相對論 所描述的 四維 時空 在重力出現(xiàn)的時候也不是歐幾里得空間。為了開發(fā)更高維的歐幾里得空間，空間的性質(zhì)必須嚴密地表達并被擴展到任意維度。這些數(shù)學(xué)空間可以被擴展來應(yīng)用于任何有限維度，而這種空間叫做 ?n 維歐幾里得空間（甚至簡稱 ??n維空間）或有限維實內(nèi)積空間。在公元前 300 年， 古希臘 數(shù)學(xué)家 歐幾里得 建立了 角 和 空間 中距離之間聯(lián)系的法則，現(xiàn)稱為歐幾里得幾何。內(nèi)積空間和度量空間都在 泛函分析 中得到了探討。 歐氏空間是一個特別的 度量空間 ，它使得我們能夠?qū)ζ涞?拓撲 性質(zhì)，例如 緊性 加以調(diào)查。這個一般化把歐幾里德對于距離、以及相關(guān)的概念長度和角度，轉(zhuǎn)換成任意數(shù)維的坐標系。 由于隨機微分方程的解必然是一個隨機過程，因而對于解的研究大多集中在對解的估計上，我們希望能夠像數(shù)學(xué)分析中研究函數(shù)或變量一樣，用某種度量來衡量隨機微分方程的解， oIt? 為此提供了一個定理作為工具： 定理 ( oIt? 等距） 設(shè) )(tW 是實值布朗運動， RssttX ?? ,),( 為一 個隨機過程，則 .)()()( 22 duuXEudWuXE tsts ?? ? 注意到，對常微分方程而言，解都是可微的，但是隨機變量的隨機微分是在積分的逆運算基礎(chǔ)上定義出來的，而它的運算法則是否與常規(guī)的微分相同 ? 對此， oIt? 給出了以下結(jié)論： 定理 ( oIt? 公式 (或 oIt? 鏈鎖規(guī)則 ))設(shè)隨機過程 ))(,),(),(()( 21 tXtXtXtX d?? 滿足方程 ),()()()( tdWtGdttftdX ?? 其中 f 為向量 ,G 為矩陣函數(shù)，則對函數(shù) ,: RRRu d ?? ).1(),(),( xKxtgxtf ??? ??dRyx ?, 16 ? ?).()()()()(21)()()())((21)()())(,(┬┬┬┬┬tdWtGudttuGHtGTrtfututudXHtdXtdXudttutXtduxxxxx???????? ???????????? （ ） 此處 uHx 是 ),( xtu 對 x 的 Hessian 矩陣，即相當于對向量值函數(shù) u 的二階導(dǎo)數(shù) : ???????????????????????????????????????????????????????nnnnnnnxxxxxxuxxuxxuxxxxxuxuxxuxxxxxuxxuxuuH23222122232222212212312212212???????? 函數(shù) Tr 表示矩陣的際數(shù)，對于式（ )則為 : ? ?jikjnjink ikx xxuGtGtuGHtGTr ?? ?? ? ?? ?21, 1┬ )()()( 基于 oIt? 的運算法則， Bertram 及合作者 [2]提出了對于隨機微分方程的 Lyapunov 函數(shù)： )(I 設(shè)函數(shù) ??? RRRV d: 對 Rt? 是 2C 的（即對 t 是 2次連續(xù)可微的，其余類推），對 dRx?是 3C 的，并且 V 自身及其諸一階偏導(dǎo)數(shù) VDi (此處 2,1,0?i ),二階偏導(dǎo)數(shù)jixtxV（此處dji ?3,2,1, ? ),三階偏導(dǎo)數(shù) kji xxxV （此處 dkji ?3,2,1, ? ），均對任意緊集 dRS? ，在 SR?上有界，且滿足： 0),(inf ?? xtVRt對所有 0?x ,且對所有 .0)0,(, ?? tVRt () 同時我們定義： 17 .,))),(),(())(,()),(),((21)),(),()(,(),(:),(021 1,1dililjiilmldjiiliidi iRyxytgxtghyxtxxVytgxtgytfxtfyxtxVyxttVyxtV???????????????????? ??? ??對任意? 本文中我們在討論解之間的關(guān)系時還會涉及以下概念： 隨機過程的依分布收斂 定義 (隨機過程的依分布收斂 )設(shè)完備度量空間 ),?M（ 取值于 M 的隨機變量序列nX 及隨機變量 Y 的在 M 上的分布分別是 n? 和 ? ,如果對所有連續(xù)有界函數(shù) RMf ?: , ?? ??? MM nn xdxfxdxf )()()()(l i m ??， 則我們稱 nX 依分布收斂至 Y ,稱 n? 依弱拓撲收斂（或弱收斂）至 ? 。設(shè) gf, 滿足全局 Lipschitz 和全局線性增長性，并共用 Lpschitz 常數(shù)和線性增長常數(shù)。 15 )(H 在這里我們必須提到隨機微分方程解對初值的存在唯一性定理。 同時，對于適定于某個濾子 tF 的隨機過程 )(tX ,必存在隨機過程 )(tY 與之隨機等價。()( ????? ttYtXP 則稱它們?yōu)殡S機等價（或無法區(qū)分）的。于是對于隨機微分方程的解的對初值是否唯一這個問題，與確定性對應(yīng)問題出現(xiàn)了本質(zhì)上的不同：我們完全可以找到兩個在同一歐氏空間 dR 中取值，但彼此獨立同分布的隨機變量，即，令： ddRX RX ??? ??? ~:)(~ :)( 為彼此不同的隨機變量，但完全可以有 :對任意 )( dRA ?? ,