【正文】 一族子 ??代數(shù) ? ? FFRtF tt ?? ,。 為濾子（ Filter)。對(duì) tF 以及任意 ? ???? ,0tt ，若隨機(jī)變量)(?TT? 可以使集合 ? ?tT? 是 ?tF 可測(cè)的，則稱 T 為 tF 上的一個(gè)停時(shí)。對(duì)隨機(jī)過(guò)程 ,),( RttX ? 我們可以類似地定義 )(tX 的無(wú)窮 模為 .)(su p:)(2tXtX Rt?? ? 在此處可以看出隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)與確定性系統(tǒng)研究方法上的最大差異在于估計(jì)：對(duì)隨機(jī)過(guò)程我們只能談其某一階矩或在概率及分布意義下討論收斂，有界等性質(zhì)，因而有關(guān)隨機(jī)過(guò)程的連續(xù)性也是在測(cè)度意義下提出的： 隨機(jī)連續(xù) 定義 (隨機(jī)連續(xù)） 設(shè)集合 RI? 為連續(xù)集合 ,一個(gè)隨機(jī)過(guò)程 ),(: 2 RPIX ?? 稱為在 I上隨機(jī)連續(xù)的，若對(duì)任意 Is? ,有 .0))()((lim ???? ?sXtXPst 從以上定義可見(jiàn)，對(duì)集合 RI? ，若考慮由取值于歐氏空間的連續(xù)函數(shù)構(gòu)成的空間 12 )( dRIC ? ，以及上述 ),(2 dRPL 空間，則由于諸 tF 均為 F 的子集， 故連續(xù)過(guò)程也可以理解為定義于概率測(cè)度空間 ),( PF? 取值于 )( dRIC ? 或 Banach 空間 ),(2 dRPL 的隨機(jī)變量。 布朗運(yùn)動(dòng) 布朗運(yùn)動(dòng)（ Brownian movement） 微小粒子表現(xiàn)出的無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)。進(jìn)一步實(shí)驗(yàn)證實(shí)，不僅花粉顆粒，其他懸浮在流體中的微粒也表現(xiàn)出這種無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)，如懸浮在空氣中的塵埃。 1877 年 顆粒受到液體分子碰撞的不平衡力作用而引起的。微小的粒子受到的打擊太少，以至無(wú)法補(bǔ)償。 19051906 年 和 斯莫盧霍夫斯基分別發(fā)表了理論上分析布朗運(yùn)動(dòng)的文章。 定義 (布朗運(yùn)動(dòng)） 我們稱一個(gè)實(shí)值隨機(jī)過(guò)程 ),0),(( ?? ttWW 為布朗運(yùn)動(dòng)，若它滿足： 0)0( ?W (幾乎必然成立 )對(duì)任意 0??st ， )()( sWtW ? 服從均值為 0,方差為 st? 的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布； W 具有獨(dú)立平穩(wěn)增量，即對(duì)任意的 nttt ???? ?210 ，隨機(jī)變量 )()(,),()(),( 1121 ??? nn tWtWtWtWtW ?相互獨(dú)立同分布。鞅論的思想方法不僅為許多重要結(jié)論提供簡(jiǎn)捷的證明而且導(dǎo)致了許多新的問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)和解決。杜布是美國(guó)數(shù)學(xué)家。 2021 年 6 月 7 日卒于伊利諾伊。他是美國(guó)國(guó)家科學(xué)院和美國(guó)科學(xué)藝術(shù)研究院院士，伊利諾伊大學(xué)教授。他是鞅論的奠基人，雖然萊維等人早在 1935 年發(fā)表了一些孕育著鞅論的工作， 1939 年維爾引進(jìn)“鞅” (martingale)這個(gè)名稱，但對(duì)鞅進(jìn)行系統(tǒng)研究并使之成為隨機(jī)過(guò)程論的一個(gè)重要分支的，則應(yīng)歸功于杜布。在鞅論中有以他的姓氏命名的著名的杜布停止定理、杜布──邁耶上鞅分解定理等 .鞅論使隨機(jī)過(guò)程的研究進(jìn)一步抽象化，不僅豐富了概率論的內(nèi)容，而且為其它數(shù)學(xué)分支如調(diào)和分析、復(fù)變函數(shù)、位勢(shì)理論等提供了有力的工具 .他對(duì)代數(shù)函數(shù)中的聚值集的理論也作出了貢獻(xiàn)。在數(shù)學(xué)中以他的姓氏命名的還有：杜布定理、杜布不等式、杜布收斂性等等。 oIt? 在 1942 年 [11]對(duì)隨機(jī)積分做出了定義： )).,(),()((l i m:),(),(110 ???????? iini ints tWtWdW ?? ??? ?? 由于隨機(jī)變量顯然不滿足我們?cè)跀?shù)學(xué)分析中對(duì)可微函數(shù)的定義，因而隨機(jī)微分只能以積分的逆運(yùn)算的形式定義。因而在本文中我們研究的是 oIt? 型隨機(jī)微分方程，其一般形式為（關(guān)于一般形式的 oIt? 型隨機(jī)微分方程的具體說(shuō)明可見(jiàn)于 [9]及 [12]): ,)),(,()),(,( dWtXtgdttXtfdX ?? ?? （ ） 其中 f 是 ?dR 值的 ， g 是 ?? )md（ 值的矩陣函數(shù)。在本文中我們考慮的微分方程并不復(fù)雜，因而如不特殊說(shuō)明，我們默認(rèn)方程系數(shù)本身不具有隨機(jī)性，且為連續(xù)函數(shù)，即我們考慮的是方程 ),())(,())(,()( tdWtXtgdttXtftdX ?? （ ） 而此處的隨機(jī)擾動(dòng) )(tWW? 為布朗運(yùn)動(dòng)。 通常，若隨機(jī)過(guò)程定義于濾子空間 ),( PFt? 上并且是連續(xù)的，我們固定某個(gè) ??? ，則（幾乎必然地）得到了一個(gè)連續(xù)函數(shù)，此即隨機(jī)過(guò)程的“軌道” 或“路徑” （ Path)。 定義 (隨機(jī)等價(jià) )設(shè)兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程 )~,(),( ?? tYtX 均取值于 dR ，若： ? ?,0)。 注 如果把隨機(jī)過(guò)程的諸時(shí)刻視為變量，則這些隨機(jī)變量間的視為未必蘊(yùn)含隨機(jī)過(guò)程的彼此等價(jià)，因?yàn)閷?duì)所有 t , ? ? 1)()( ?? tYtXP ， 并不代表對(duì) ).,(),( ??? tYtX ???? ， 而若令 ?? 代表那些使上式不成立的 ? 的集合，則 ??無(wú)法保證為零測(cè)集。如果我們把連續(xù)隨機(jī)過(guò)程視為某種“系統(tǒng)”，則這一事實(shí)與微分方程解的存在性有許多相似處，類似結(jié)論還有： 定理 (Skorohod 表現(xiàn)定理 ， 見(jiàn) [5]定理 )若可分度量空間 ),?M（ 上的一列概率測(cè)度 n? 依弱拓?fù)涫諗恐粮怕蕼y(cè)度 ? ,則存在某個(gè)概率空間上的 ?M 值隨機(jī)變量列 nX 及隨機(jī)變量 Y ,分別以 n? ,? 為分布 ， 使得 YX san ? ?? .. 。在確定性系統(tǒng)當(dāng)中，如果給定一個(gè)有限鄰域?yàn)闀r(shí)間 t 的取值范圍，解定義在某個(gè)緊集上是比較自然的，因?yàn)檫B續(xù)函數(shù)在自變量有界時(shí)具有有界性；但隨機(jī)變量的取值往往不存在有界性，當(dāng)然也談不上緊性，于是我們對(duì)于隨機(jī)微分方程 ()的系數(shù)提出條件： 設(shè) ),( xtf 為 ?dR 值連續(xù)函數(shù)， ?? )(),( mdxtg 為 值連續(xù)矩陣函數(shù)， W 為標(biāo)準(zhǔn) ?m維布朗運(yùn)動(dòng)。即存在獨(dú)立于 Rt? 的常數(shù) KL和 ,使得對(duì)任意 任意 Rt? , ,),(),(),(),( yxLytgxtgytfxtf ????? ???? (a) (b) 于是我們有如下結(jié)果： 定理 (詳見(jiàn) [9])若隨機(jī)微分方程（ ）的系數(shù)滿足條件 )(H ,則對(duì)任意初值 X ,及任意初始時(shí)刻 0t ，方程（ ）存在唯一的解 ),( ?tY 滿足初值條件： XtY ?),( 0 ? . 需要注意的是，上述的唯一性不考慮我們上文介紹的隨機(jī)等價(jià)意義下的不同解。 歐幾里德空間 歐幾里德空間 (Euclidean Space)，簡(jiǎn)稱為歐氏空間 (也可以稱為平直空間 )，在數(shù)學(xué)中是對(duì)歐幾里德所研究的 2 維和 3 維空間的一般化。這是有限維、實(shí)和內(nèi)積空間的“標(biāo)準(zhǔn)”例子。內(nèi)積空間是對(duì)歐氏空間的一般化。歐氏空間是一個(gè)特別的 度量空間 ，它使得我們能夠?qū)ζ涞?拓?fù)?性質(zhì)，在包含了 歐氏幾何 和 非歐幾何 的 流形 的定義上發(fā)揮了作用。歐幾里得首先開(kāi)發(fā)了處理平面上 二維物體 的“ 平面幾何 ”，他接著分析 三維 物 體的“ 立體幾何 ”，所有歐幾里得的公理已被編排到叫做二維或三維歐幾里得空間的抽象數(shù)學(xué)空間中。 這些數(shù)學(xué)空間還可被擴(kuò)展到任意維的情形，稱為實(shí) 內(nèi)積空間 （不一定完備）， 希爾伯特空間 在 高等代數(shù) 教科書(shū)中也被稱 為歐幾里得空間。盡管這樣做的結(jié)果導(dǎo)致數(shù)學(xué)非常抽象，但卻捕獲了我們熟悉的歐幾里得空間的根本本質(zhì)，即平面性。有一種方法論把歐幾里得平面看作滿足可依據(jù)距離和角表達(dá)的特定聯(lián)系的點(diǎn)所成的集合。其二是關(guān)于在這個(gè)平面中固定點(diǎn)的 旋轉(zhuǎn) ，其中在平面上的所有點(diǎn)關(guān)于這個(gè)固定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)相同的角度。歐幾里得空間的最后問(wèn)題是它在技術(shù)上不是向量空間，而是向量空間作用于其上 仿射空間 。這種技術(shù)本文中很大程度上被忽略了。一個(gè)定義距離函數(shù)的數(shù)學(xué)動(dòng)機(jī)是為了定義空間中圍繞點(diǎn)的開(kāi)球。微分幾何把微分，會(huì)同導(dǎo)入機(jī)動(dòng)性手法，局部歐氏空間，探討了非歐氏流形的許多性質(zhì)。 定義 （歐幾里德空間） 設(shè) V 是 實(shí)數(shù)域 R 上的 線性空間 （或稱為 向量空間 ），若 V 上定義著正定對(duì)稱 雙線性型 g（ g 稱為 內(nèi)積 ），則 V 稱為（對(duì)于 g 的） 內(nèi)積空間 或歐幾里德空間（有時(shí)僅當(dāng) V 是有限維時(shí)，才稱為歐幾里德空間）。 b. ),(),(),( zygzxgzyxg ??? 。 d. 0),( ?xxg ,而且 0),( ?xxg 當(dāng)且僅當(dāng) 0?x 時(shí)成立。 利普希茨連續(xù)條件 利普希茨連續(xù)條件（ Lipschitz continuity）是以德國(guó)數(shù)學(xué)家魯?shù)婪蛑庇^上，利普希茨連續(xù)函數(shù)限制了函數(shù)改變的速度，符合利普希茨條件的函數(shù)的斜率，必小于利普希茨常數(shù)。 一些特殊的利普希茨函數(shù)，例如壓縮映射，被應(yīng)用在巴拿赫不動(dòng)點(diǎn)定理中。 馬爾科夫過(guò)程 馬爾可夫過(guò)程（ Markov process）是一類 隨機(jī)過(guò)程 。 1951 年前后， 伊藤清 建立的隨機(jī)微分方程的理論，為 馬爾可夫 過(guò)程的研究開(kāi)辟了新的道路。流形上的馬爾可夫過(guò)程、馬爾可夫 向量場(chǎng) 等都是正待深入研究的領(lǐng)域。人們?cè)趯?shí)際中常遇到具有下述特性的隨機(jī)過(guò)程：在已知它所處的狀態(tài)的條件下，它未來(lái)的演變不依賴于它以往的演變。 荷花池 中一只青蛙的跳躍是馬爾可夫過(guò)程的一個(gè)形象化的例子。如果將荷葉編號(hào)并用 , 210 ?xxx 分別表示青蛙最初處的荷葉號(hào)碼及第一次、第二次、??跳躍后所處的荷葉號(hào)碼，那么 ? ?0, ?nxn 就是 馬爾可夫 過(guò)程。還有些過(guò)程（例如某些遺傳過(guò)程）在一定條件下可以用馬爾可夫過(guò)程來(lái)近似。 1951 年前后， 伊藤清在 ，建立了隨機(jī)微分方程的理論，為研究 馬爾可夫 過(guò)程開(kāi)辟了新的道路。 50 年代初，角谷靜夫和 .杜布 等發(fā)現(xiàn)了 布朗運(yùn)動(dòng) 與偏微分方程論中 狄利克雷 問(wèn)題的關(guān)系，后來(lái) 當(dāng)一般的馬爾可夫過(guò)程（亨特過(guò)程）與位勢(shì)的關(guān)系。 20 在馬爾可夫性的定義中， 現(xiàn)在 是指固定的時(shí)刻，但實(shí)際問(wèn)題中常需把馬爾可夫性中的“現(xiàn)在”這個(gè)時(shí)刻概念推廣為停時(shí)（見(jiàn)隨機(jī)過(guò)程）。如果把“現(xiàn)在”推廣為停時(shí)情形的“現(xiàn)在”，在已知“現(xiàn)在”的條件下，“將來(lái)”與“過(guò)去”無(wú)關(guān)，這種特性就叫強(qiáng)馬爾可夫性。在相當(dāng)一段時(shí)間內(nèi)，不少人認(rèn)為馬爾可夫過(guò)程必然是強(qiáng)馬爾可夫過(guò)程。直到 1956 年，才有人找到馬爾可夫過(guò)程不是強(qiáng)馬爾可夫過(guò)程的例子。 21 3 本文的主要結(jié)果 隨機(jī)微分方程的均方有界解 上文已經(jīng)提到，即使對(duì)于常微分方程，人們也沒(méi)有一種簡(jiǎn)單的方法僅依靠系數(shù)上附加的條件判定微分方程是否存在有界解。進(jìn)而，由周期性，對(duì)任意序列 ? ?n?? ??? ，在 ???n 時(shí)， ????n? ，我們可以找到一個(gè)恰當(dāng)?shù)淖恿? ? ??? ??? n ，使得對(duì)任意緊集 RS? , ),(lim: xtffTnn ?? ?? ??? ),(lim: xtggTnn ?? ?? ???. 在 SR? 上一致存在。于是利用著名的 ArzelaAscoli 引理，存在子列 ? ? ??? ??? n ， 使得函數(shù)序列 ? ?),( xtf n?? ，對(duì)于所有 RS? ，在集合 ? ? Snn ?, 上一致收斂 ， 不 妨記這個(gè)收斂的極限為 ),( xtFn 。 我們現(xiàn)在往證 ? ?),( xtFn 對(duì)任意有界區(qū)間 ? ? RbaI ?? , 以及 S ,在 SI? 上仍存在收斂的子列。從而 st? 。在上述論證中，即使 ??? n? ，實(shí)際上并不影響結(jié)論。于是根據(jù)這種存在性，我們可以假設(shè)有一列解 )(tn? , nf , ng 和 )(tWn ,則 )(tn? 為定義在 [? ???? ,0 nt ? 上的滿足： Mrntr ??? 2)(sup0 ?? 的解，并且對(duì) ntst ???? 0 , )())(,())(,()()( rdWrrgdrrrfstnnts nts nnn ???? ?? ???. 對(duì)任意 Ra? ， n 足夠大時(shí)， n? 在 ? ???,a 上有定義，從文獻(xiàn) [4]中關(guān)于鞅不等式的論證可知， ??n? 存在子列于 ? ???,a 中任意緊區(qū)間上，依分布收斂至某個(gè) )~ t（? ，并且對(duì)某個(gè)布朗運(yùn)動(dòng) W~ ,這個(gè)極限在區(qū)間 ? ???,a 上，滿足方程： ? ???? ts ts rWdrrgdrrrfst )(~))(~,())(~,()(~)(~ ????. 這個(gè)方程其實(shí)是（ ）自身。從而 ?~ 是方程（ ）的一個(gè)定義在 R 上的解，進(jìn)而由 Fatou 引理可知： 23 1)(s up)(~s up 2220??? ??? MrEtEntrRt?? ?， 從而 ?~ 是一個(gè)有界