【正文】 首先不妨在區(qū)間 ? ?1,nnxx? 內(nèi)仍取 2 個(gè)點(diǎn)，仿照（ ）式用以下形式試一下 常微分方程的高精度求解方法 安徽大學(xué)江淮學(xué)院 07 計(jì)算機(jī) (1)班 14 1 1 1 2 2121()( , ) .2( , ) , 0 , 1nnnnnny y h k kk f x yk f x h y h k??? ? ? ?? ? ? ??????? ? ? ? ??（ 6 ） 其中 1? ， 2? ， ? ， ? 為待定系數(shù)，看看如何確定它們使（ ）式的精度盡量高。（ ）式又可表為 231 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n n x yy y x h y x h f ff o h?? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? 注意到 2 31( ) ( ) ( ) ( ) ( )2n n n nhy x y x h y x y x o h? ? ??? ? ? ? 中 , xyy f y f ff? ??? ? ?，可見(jiàn)為使誤差 311( ) ( )nny x y o h????，只須令 1 2 2 11 , , 1 ( 6 . 4 )2 ?? ? ? ? ?? ? ? ? 待定系數(shù)滿足（ ）的（ ）式稱為 2 階龍格 — 庫(kù)塔公式。不難發(fā)現(xiàn)，若令12 1 , 1,2? ? ? ?? ? ? ?即為改進(jìn)的 Euler 公式。 階龍格 庫(kù)塔（ Runge— Kutta）方法公式 要進(jìn)一步提高精度，必須取更多的點(diǎn)，如取 4 點(diǎn)構(gòu)造如下形式的公式： 常微分方程的高精度求解方法 安徽大學(xué)江淮學(xué)院 07 計(jì)算機(jī) (1)班 15 51 1 1 2 2 3 3 4 412 1 1 13 2 2 1 3 24 3 4 1 2 6 3()( , )( , ) ( 6 .5 )( , )( , )nnnnnnnnnny y h k k k kk f x yk f x h y h kk f x h y h k h kk f x h y h k h k h k? ? ? ???? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ????? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? 其中待定系數(shù) i? ， i? ， i? 共 13 個(gè)，經(jīng)過(guò)與推導(dǎo) 2 階龍格 — 庫(kù)塔公式類(lèi)似、但更復(fù)雜的計(jì)算，得到使局部誤差 511( ) ( )nny x y o h????的 11 個(gè)方程。 第七章 預(yù)報(bào) 校正方法 歐拉方法、休恩方法、泰勒方法以及龍格 — 庫(kù)塔方法都稱為單步方法，因?yàn)樗麄冎焕们耙粋€(gè)點(diǎn)的信息計(jì)算下一個(gè)點(diǎn)，即計(jì)算 11( , )ty 時(shí)只使用了初始點(diǎn)00( , )ty 。當(dāng)計(jì)算下一個(gè)點(diǎn)，就可以利用 幾個(gè)已計(jì)算出的點(diǎn)來(lái)計(jì)算下一個(gè)點(diǎn)。該方法還可以確定步長(zhǎng)是否小到能得到的精確值，同時(shí)又大到能夠免除不必要的和費(fèi)時(shí)的計(jì)算。 對(duì)于多步法，常用的預(yù)估 — 校正公式有 MilneHamning 方法、 MilneSimpon方法、 4 階隱預(yù)估 — 校正公式等。 常微分方程的高精度求解方法 安徽大學(xué)江淮學(xué)院 07 計(jì)算機(jī) (1)班 16 MilneSimpon 方法 MilneSimpon 方法的預(yù)估子基于在區(qū)間 31[ , ]kktt??上對(duì) ( , ( ))f t yt 的積分： 1313 ( , ( ) )kktkk ty y f t y t d t?????? ? （ ） 預(yù)報(bào)子使用 ( , ( ))f t yt 的基于點(diǎn) 33( , )kktf??， 22( , )kktf??， 11( , )kktf??和 ( , )kktf 的拉格朗日多項(xiàng)式逼近，在區(qū)間 31[ , ]kktt??上對(duì)他積分，得到米爾恩預(yù)估子： 1 3 2 14 ( 2 2 )3k k k k khp y f f f? ? ? ?? ? ? ? （ ） 校正子的推導(dǎo)類(lèi)似。假設(shè)每步中預(yù)估和校正值的差緩慢變化，則在式（ ）中可用 kp 和 ky 分解替代 1kp? 和 1ky? ，得到如下的修正為： 11 28 29kkkk ypmp?? ??? （ ） 在校正過(guò)程中用該修正值替代 1kp? ，公式（ ）變?yōu)椋? 1 1 1 1 1( 4 ( , ) )3k k k k k khy y f f f t m? ? ? ? ?? ? ? ? （ ） 常微分方程的高精度求解方法 安徽大學(xué)江淮學(xué)院 07 計(jì)算機(jī) (1)班 17 因此，改進(jìn) （修正）的 MilneSimpon 方法為 1 3 2 14 ( 2 2 )3k k k k khp y f f f? ? ? ?? ? ? ? （ ） 111 1 128 29( , )kkkkk k kypmpy f t m??? ? ????? （ ） 1 1 1 1( 4 )3k k k k khy y f f f? ? ? ?? ? ? ? （ ） 由（ ）和（ ）知 預(yù)估 — 校正方法 是休恩方法的一個(gè)改進(jìn)。如果 ( , ) 0yf t y ? ，而步長(zhǎng)過(guò)大，則預(yù)計(jì)估 — 校正方法可能不穩(wěn)定。當(dāng)在區(qū)間上使用的步長(zhǎng)太大時(shí)，會(huì)出現(xiàn)不穩(wěn)定，有時(shí)表現(xiàn)為計(jì)算解的振蕩性。如果使用步長(zhǎng)控制，則 MilneSimpon 方法應(yīng)該使用如下的誤差估計(jì)： () 29kkkk pyy t y ??? （ ） 這是一類(lèi)不動(dòng)點(diǎn)迭代過(guò)程。 問(wèn)題（ ）與（ ）形式上完全相同，故對(duì)初值問(wèn)題（ ）所建立的各種數(shù)值解法可全部用于求解問(wèn)題（ ）。 設(shè)有 m階常微分方程初值問(wèn)題 ( ) ( 1 )( 1 ) ( 1 ) ( 1 )0 0 0( , , , ) ( 8 . 3 )( ) , ( ) , , ( )mmmmy f x y y y a x by a y y a y y a y????? ? ? ????? ? ??? 引入新變量 ( 1 )12, , , ,mmy y y y y y ??? ? ?問(wèn)題 ()就化為一階微分方程初值問(wèn)題 1 2 1 0( 1 )2 3 2 0( 2 )1 1 0( 1 )10()()( 8 .4 )()( , , , ) ( )mm m mmm m my y y a yy y y a yy y y a yy f x y y y a y?????? ??? ????? ? ???? ?? 然后用 （ ），就可以得到問(wèn)題（ ）的數(shù)值解。具體地說(shuō)，對(duì)一階線性微分方程組 ( ) ( 8 . 5 )dy A y xdx ? ? ? 其中 y ， mR?? , A為 m 階方陣。對(duì)剛性方程組，用前面所介紹的方法求解，都會(huì)遇到本質(zhì)上的困難，這是由數(shù)值方法本身的穩(wěn)定性限制所決定的。 第九章 常微分方程模型數(shù)值解法在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用 耐用消費(fèi)新產(chǎn)品的銷(xiāo)售規(guī)律模型 問(wèn)題的提出 新產(chǎn)品進(jìn)入市場(chǎng)后，一般會(huì)經(jīng)歷一個(gè)銷(xiāo)售量逐漸增加然后逐漸下降的過(guò)程。然而對(duì)于耐用消費(fèi)品，情況有所不同，其生命曲線在開(kāi)始有一個(gè)小的高峰，然后是一段平坦的曲線，甚至?xí)陆?，而后再次上升，達(dá)到高峰，從而呈雙峰形曲線。本節(jié)經(jīng)過(guò)細(xì)致的分析，建立數(shù)學(xué)模型，對(duì)這一現(xiàn)象做出了科學(xué)的解釋。 設(shè) K為潛在的用戶總數(shù)， 1K K和置 2K 分別為其中的“創(chuàng)新型”和“模仿型”人數(shù)，又設(shè) ()Nt 為時(shí)刻 t 已購(gòu)買(mǎi)商品的顧客數(shù)，而 1()Nt和 2()Nt分別表示其中的“創(chuàng)新型 ” 和“模仿型 ” 顧客數(shù)，設(shè) 1()At 為時(shí)刻 t 中已經(jīng)獲得“搜集型 ” 信息的常微分方程的高精度求解方法 安徽大學(xué)江淮學(xué)院 07 計(jì)算機(jī) (1)班 20 人數(shù)，那么由于這部分信息可以直接從外部獲得，也可以已經(jīng)獲得這種信息的人群中獲得，于是有類(lèi)似于巴斯模型的建立有 ? ? ? ?1 1 1 1 2 1 1 2() ( ) ( ) , ( 0 ) 0 , , 0 , ( 9 . 1 )d A t K A t A t Adt ? ? ? ?? ? ? ? ? 由于獲得了“搜集型”信息的“創(chuàng)新型”顧客立即決定是否購(gòu)買(mǎi)，于是應(yīng)有 ? ? ? ?1 1 1 1 1() ( ) ( ) , ( 0 ) 0 , , 0 , ( 9 . 2 )d N t K N t N t Nd ? ? ? ?? ? ? ? ? 對(duì)“模仿型”顧客，可以從已購(gòu)買(mǎi)該商品的“創(chuàng)新型”或“模仿型”顧客中得到信息，因此有 ? ? ? ?2 2 2 1 2() ( ) ( ) ( ) , 0 , ( 9 . 3 )d N t K N t N t N tdt ??? ? ? ? 這里，忽略了顧客購(gòu)買(mǎi)該商品后需要有一段短暫的試用才會(huì)傳播體驗(yàn)信息的滯后作用。 模型的求解 很容易求出斯蒂芬斯一莫賽模型中的解析解。 對(duì)于斯蒂芬斯一莫賽模型中 2()Nt的解析解則不能求出，于是可以用 Adams四階預(yù)測(cè) — 校 正公式求得，即使用 ? ?( 0 )1 1 1 2 2 3 3( 1 ) ( 0 )1 1 1 1 1 2 255 ( , ) 59 ( , ) 37 ( , ) 9 ( , ) ,249 ( , ) 19 ( , ) 5 ( , ) ( , ) ,243 , 4 , 5 ,n n n n n n n n n nn n n n n n n n n nhN N f t N f t N f t N f t NhN N f t N f t N f t N f t Nn? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ??? ? ? ? ?? ??????? 求得，且在它的精度要求達(dá)到很高情形下求出 2()Nt。具體程序如下： 設(shè)方程（ ）中的 2 2 1( ) , , 2 , ( ) .N t y k k N t b??? ? ? ?于是有下面程序： s dso l v e ( D y a * b * K 2 a * b * y a * K 2 * y a * ^ 2y?? ? ? ? ?,y(0)=0`) S= (K2*exp(t*a*b+t*a*K2+log(b/K2)/(b+K2)*b+log(b/K2)/(b+K2)*K2)b)/ (1+exp(t*a*b+t*a*K2+log(b/K2)/(b+K2)*b+log(b/K2)/(b+K2)*K2)) 司機(jī)飲酒駕車(chē)防避模型的數(shù)值解法 在 2021年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽題中有一個(gè)關(guān)于司機(jī)飲酒駕車(chē)模型。 大李在中午 12點(diǎn)喝了一瓶啤酒 ，下午 6點(diǎn)檢查時(shí)符合新的駕車(chē)標(biāo)準(zhǔn)，緊接著他在吃晚飯時(shí)又喝了一瓶啤酒，為了保險(xiǎn)起見(jiàn)他呆到凌晨 2點(diǎn)才駕車(chē)回家，又一次遭遇檢查時(shí)卻被定為飲酒駕車(chē)，這讓他既懊惱又困惑，為什么喝同樣多的酒，兩次檢查結(jié)果會(huì)不一樣呢 ? 請(qǐng)你參考下面給出的數(shù)據(jù) (或自己收集資料 )建立飲酒后血液中酒精含量的數(shù)學(xué)模型，并討論以下問(wèn)題： 1．對(duì)大李碰到的情況做出解釋?zhuān)? 2．在喝了 3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)駕車(chē)就會(huì)違反上述標(biāo)準(zhǔn)，在以下情況下回答： 1)酒是在很短時(shí)間內(nèi)喝的； 2)酒是在較長(zhǎng)一段時(shí)間 (比如 2小時(shí) )內(nèi)喝的。 4．根據(jù)你的模型論證：如果天天喝酒，是否還能開(kāi)車(chē) ? 5．根據(jù)你做的模型并結(jié)合新的國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)寫(xiě)一篇短文，給想喝一點(diǎn)酒的司機(jī)如何駕車(chē)提出忠告。 2．體重約 70kg的某人在短時(shí)間內(nèi)喝下 2瓶啤滔后，隔一定時(shí)間測(cè)量他的血液中滔精含量 (毫克／百毫升 )，得到數(shù)據(jù)如下 : 時(shí)間 (小時(shí) ) 1 2 3 4 5 酒精含量 30 68 75 82 82 77 68 68 58 51 50 41 時(shí)間 (小時(shí) ) 6 7 8 9 10 11 12 12 14 15 16 酒精含量 38 35 28 25 18 15 12 12 7 7 4 常微分方程的高精度求解方法 安徽大學(xué)江淮學(xué)院 07 計(jì)算機(jī) (1)班 22 模型假設(shè) l、駕駛司機(jī)沒(méi)有其他疾病，消化系統(tǒng)良好，屬于健康人群，其體重為 70kg左右。 酒精從系統(tǒng) I向系統(tǒng) II的轉(zhuǎn)移的速 率系數(shù)，及向體外的排出的速率系數(shù)，與該系統(tǒng)的酒精濃度成正比，這兩個(gè)速率系數(shù) 1k 、 2k 是由人體的身體機(jī)能所決定的常數(shù)。不考慮人體其他機(jī)體對(duì)酒精的吸收，體液的變化可以忽略而