【正文】 在半實(shí)軸上呈現(xiàn)出均方有界性的解推出，方程 ),())(,())(,()( tdWtXtgdttXtftdX ?? 具有在全空間上均方有界性的解。 the second chapter is the related content to give knowledge will be used in this paper, the basic concept and the basic theorem including stochastic differential equations will be used。對(duì)于微分方程，方程的解無(wú)初等表示其對(duì)于應(yīng)用科學(xué)而言幾乎可視為不存在，因而從那個(gè)時(shí)代開始，微分方程定性研究以及對(duì)解的逼近和估計(jì)逐漸成為該領(lǐng)域的主要發(fā)展趨勢(shì)。回復(fù)性是指，在經(jīng)過(guò)充分長(zhǎng)的時(shí)間后，解（或者動(dòng)力系統(tǒng)的軌線）會(huì)回到初值或初值在某一拓?fù)湟饬x下的“附近”。但遺憾的是，至今仍沒(méi)有有效的方法在不確定微分方程解的一些其他特別性質(zhì)之前確定有界解的存在，因而在研究有關(guān)回復(fù)性或穩(wěn)定性（通過(guò) Lyapunov 對(duì)穩(wěn)定性的 定義我們不難看出，穩(wěn)定性是一種強(qiáng)回復(fù)性）的經(jīng)典文獻(xiàn)中（見 Yoshizawa [25][26][28][29], Fink [8] 以及 Levitan [31]),人們都在需要有界解時(shí)直接假設(shè)其存在。這是與早期百科全書學(xué)派視科學(xué)研究為對(duì)客觀事物分類，歸納和觀察記錄的態(tài)度相契合的。在 Einstein 的年代，數(shù)學(xué)界還不存在現(xiàn)代概率論或隨機(jī)過(guò)程理論，因而他對(duì)布朗運(yùn)動(dòng)的看法是基于統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的，因而 Einstein 的隨機(jī)微分方程從數(shù)學(xué)角度看來(lái)仍顯得不夠嚴(yán)格 [17]。 1908 年， Perrin 利用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了描述布朗運(yùn)動(dòng)的方程。后來(lái) Wiener [23]于 1923 年對(duì)布朗運(yùn)動(dòng)做出了準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)定義，因而布朗運(yùn)動(dòng)又稱 Wiener 過(guò)程。限于水平，文中出現(xiàn)不當(dāng) 處敬請(qǐng)各位專家批評(píng)指正，萬(wàn)分感謝！ 4 2 預(yù)備知識(shí) 本章中我們會(huì)介紹一下本文涉及的一些預(yù)備知識(shí)。李亞普諾夫函數(shù)在穩(wěn)定性理論及控制理論中相當(dāng)重要。 針對(duì)自治系統(tǒng)的李亞普諾夫定理，直接使用李亞普諾夫候選函數(shù)的特性。 Lyapunov 指數(shù)是衡量系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的一個(gè)重要定量指標(biāo) ,它表示了系統(tǒng)在相空間中相鄰軌道間收斂或發(fā)散的平均指數(shù)率。如果耗散系統(tǒng)的吸引子是一個(gè)不動(dòng)點(diǎn) ,那么所有的 Lyapunov 指數(shù)通常是負(fù)的。 由于 ),(xtV 的連續(xù)性， 當(dāng) ),xt（ 包含于空間 dRR? 中任一 緊集 SIK ?? (此 處? ? dRSRbaI ??? , 為緊集 )，則顯然 V 在 K 上有界，從而當(dāng) )(txx? 為方程（ )的一個(gè)解，并且諸有界性條件仍然存在時(shí)，我們有： ? ?),(),(1l i m:),(0 xtVxhtVhxtV h ??? ???， () 上述 ),( xtV? 在部分文獻(xiàn)中 [27][30]被記為 ),()( xtV? 。我們假設(shè)上一節(jié)中提及的 Lyapunov 函數(shù)滿足某種 Lipschitz 性： yxLytVxtV ??? ),(),( ， 則對(duì)連續(xù)可微函數(shù) )(tx ， )(ty 有 ? ?)))(,()(,(1l i m))(,(0 txtVhtxhtVhtxtV h ????? ??， ? ?)))(,()(,(1l i m))(,(0 tytVhtyhtVhtytV h ????? ??， 于是 ? ?? ?? ?)()(1l i m)))(,()(,(1l i m)))(,()(,(1l i m)))(,()(,(1l i m))(,(0000htxhtyLhtxtVhtxhtVhhtxhtVhtyhtVhtytVhtxhtVhtytVhhhh??????????????????????????? 不難想象，利用 Lyapunov 函數(shù)同樣可以得到解的存在唯一性： 定理 (詳見 [30])首先，若已知某個(gè)函數(shù) )(t? ）是微分方程 ()的解，則顯然 ()經(jīng)過(guò)偏移可得： )),(,( txtfx ???? 于是解 )(t? 的唯一性體現(xiàn)在上一方程零解的唯一性。在進(jìn)行關(guān)于隨機(jī)微分方程的討論前，我們有必要介紹一些與概率論及隨機(jī)過(guò)程相關(guān)的預(yù)備知識(shí)： ? 代數(shù) 在數(shù)學(xué)中，某個(gè) 集合 X 上的 ? 代數(shù)（ ? algebra）又叫 ? 域 （ ? field），是 X 的所有子集 的集合（也就是 冪集 ）的一個(gè)子集。 可測(cè)空間，有限測(cè)度，概率測(cè)度和概率空間 概率測(cè)度 (probability measure)概率論、遍歷理論等數(shù)學(xué)分支中常用的一種重要的有限測(cè)度。若一列子集 FAn? ,，?,2,1?n 且其中諸項(xiàng)互不相交，則 (這被稱為可列 可加性 )： )()(11 ????? ? n nn n APAP ? 則稱 )(?P 為 F 上的一個(gè)有限測(cè)度，若忽略條件 a,則 P 為上的一個(gè)測(cè)度 , 而 ),( PF? 為一個(gè)可測(cè)空間。 可測(cè)映射與隨機(jī)變量 一、 可測(cè)映射： 可測(cè)映射是測(cè)度論中的一個(gè)數(shù)學(xué)概念，它是從一個(gè)可測(cè)空間到另一個(gè)可測(cè)空間的滿足一定條件的變換關(guān)系，與之相關(guān)的概念有可測(cè)空間、可測(cè)函數(shù)，它主要應(yīng)用于抽象積分的變換方面。 a. ? ? FafIRa ???? , 。 性質(zhì) 3： ),( F? 上實(shí)值（復(fù)值）可測(cè)函數(shù)全體構(gòu)成實(shí)域（復(fù)域）上的一向量空間。 二、 隨機(jī)變量： 隨機(jī)變量（ random variable）表示隨機(jī)試驗(yàn)各種結(jié)果的實(shí)值單值函數(shù)。 9 隨機(jī)變量基本類型： 簡(jiǎn)單地說(shuō)，隨機(jī)變量是指 隨機(jī)事件 的數(shù)量表現(xiàn)。 按照隨機(jī)變量可能取得的值，可以把它們分為兩種基本類型： ① 離散型隨機(jī)變量 ，即在一定 區(qū)間 內(nèi)變量取值為有限個(gè)，或數(shù)值可以一一列舉出來(lái)。 隨機(jī)變量不確定性 隨機(jī)變量在不同的條件下由于偶然因素影響，其可能取各種隨機(jī)變量 不同的值，具有不確定性 和 隨機(jī)性 ，但這些取值落在某個(gè)范圍的概率是一定的，此種變量稱為隨機(jī)變量。 定義 (可測(cè)映射與隨機(jī)變量） 設(shè)有自可測(cè)空間至可測(cè)空間的映射 ,若對(duì)映射的相空間中任意可測(cè)集，其原相在原相所在的空間的中測(cè)度意義下仍然可測(cè)，則我們稱之為可測(cè)映射。 隨機(jī)過(guò)程，停時(shí) 一、 隨機(jī)過(guò)程： 隨機(jī)過(guò)程 整個(gè)學(xué)科的理論基礎(chǔ)是由 柯爾莫哥洛夫 和 杜布 奠定的。另外， 組合方法和 代數(shù)方法 在某些特殊隨機(jī)過(guò)程的研究中也有一定作用。人們研究這種過(guò)程，是因?yàn)樗菍?shí)際隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)模型，或者是因?yàn)樗?內(nèi)在 11 數(shù)學(xué)意義以及它在 概率論 領(lǐng)域之外的應(yīng)用。從它們出發(fā) ,可以構(gòu)造出許多其他過(guò)程。 定義 (隨機(jī)過(guò)程，停時(shí) ） 設(shè) RI? 為非空指標(biāo)集， ),( PF? 為概率空間，一族子 ??代數(shù) ? ? FFRtF tt ?? ,。對(duì) tF 以及任意 ? ???? ,0tt ，若隨機(jī)變量)(?TT? 可以使集合 ? ?tT? 是 ?tF 可測(cè)的，則稱 T 為 tF 上的一個(gè)停時(shí)。 布朗運(yùn)動(dòng) 布朗運(yùn)動(dòng)（ Brownian movement） 微小粒子表現(xiàn)出的無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)。 1877 年 顆粒受到液體分子碰撞的不平衡力作用而引起的。 19051906 年 和 斯莫盧霍夫斯基分別發(fā)表了理論上分析布朗運(yùn)動(dòng)的文章。鞅論的思想方法不僅為許多重要結(jié)論提供簡(jiǎn)捷的證明而且導(dǎo)致了許多新的問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)和解決。 2021 年 6 月 7 日卒于伊利諾伊。他是鞅論的奠基人，雖然萊維等人早在 1935 年發(fā)表了一些孕育著鞅論的工作， 1939 年維爾引進(jìn)“鞅” (martingale)這個(gè)名稱，但對(duì)鞅進(jìn)行系統(tǒng)研究并使之成為隨機(jī)過(guò)程論的一個(gè)重要分支的，則應(yīng)歸功于杜布。在數(shù)學(xué)中以他的姓氏命名的還有：杜布定理、杜布不等式、杜布收斂性等等。因而在本文中我們研究的是 oIt? 型隨機(jī)微分方程，其一般形式為（關(guān)于一般形式的 oIt? 型隨機(jī)微分方程的具體說(shuō)明可見于 [9]及 [12]): ,)),(,()),(,( dWtXtgdttXtfdX ?? ?? （ ） 其中 f 是 ?dR 值的 ， g 是 ?? )md（ 值的矩陣函數(shù)。 通常，若隨機(jī)過(guò)程定義于濾子空間 ),( PFt? 上并且是連續(xù)的，我們固定某個(gè) ??? ，則（幾乎必然地）得到了一個(gè)連續(xù)函數(shù)，此即隨機(jī)過(guò)程的“軌道” 或“路徑” （ Path)。 注 如果把隨機(jī)過(guò)程的諸時(shí)刻視為變量，則這些隨機(jī)變量間的視為未必蘊(yùn)含隨機(jī)過(guò)程的彼此等價(jià)，因?yàn)閷?duì)所有 t , ? ? 1)()( ?? tYtXP ， 并不代表對(duì) ).,(),( ??? tYtX ???? ， 而若令 ?? 代表那些使上式不成立的 ? 的集合，則 ??無(wú)法保證為零測(cè)集。在確定性系統(tǒng)當(dāng)中，如果給定一個(gè)有限鄰域?yàn)闀r(shí)間 t 的取值范圍，解定義在某個(gè)緊集上是比較自然的，因?yàn)檫B續(xù)函數(shù)在自變量有界時(shí)具有有界性；但隨機(jī)變量的取值往往不存在有界性，當(dāng)然也談不上緊性，于是我們對(duì)于隨機(jī)微分方程 ()的系數(shù)提出條件： 設(shè) ),( xtf 為 ?dR 值連續(xù)函數(shù)， ?? )(),( mdxtg 為 值連續(xù)矩陣函數(shù)， W 為標(biāo)準(zhǔn) ?m維布朗運(yùn)動(dòng)。 歐幾里德空間 歐幾里德空間 (Euclidean Space)，簡(jiǎn)稱為歐氏空間 (也可以稱為平直空間 )，在數(shù)學(xué)中是對(duì)歐幾里德所研究的 2 維和 3 維空間的一般化。內(nèi)積空間是對(duì)歐氏空間的一般化。歐幾里得首先開發(fā)了處理平面上 二維物體 的“ 平面幾何 ”，他接著分析 三維 物 體的“ 立體幾何 ”，所有歐幾里得的公理已被編排到叫做二維或三維歐幾里得空間的抽象數(shù)學(xué)空間中。盡管這樣做的結(jié)果導(dǎo)致數(shù)學(xué)非常抽象，但卻捕獲了我們熟悉的歐幾里得空間的根本本質(zhì)，即平面性。其二是關(guān)于在這個(gè)平面中固定點(diǎn)的 旋轉(zhuǎn) ，其中在平面上的所有點(diǎn)關(guān)于這個(gè)固定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)相同的角度。這種技術(shù)本文中很大程度上被忽略了。微分幾何把微分，會(huì)同導(dǎo)入機(jī)動(dòng)性手法，局部歐氏空間，探討了非歐氏流形的許多性質(zhì)。 b. ),(),(),( zygzxgzyxg ??? 。 利普希茨連續(xù)條件 利普希茨連續(xù)條件（ Lipschitz continuity）是以德國(guó)數(shù)學(xué)家魯?shù)婪? 一些特殊的利普希茨函數(shù)，例如壓縮映射，被應(yīng)用在巴拿赫不動(dòng)點(diǎn)定理中。 1951 年前后， 伊藤清 建立的隨機(jī)微分方程的理論，為 馬爾可夫 過(guò)程的研究開辟了新的道路。人們?cè)趯?shí)際中常遇到具有下述特性的隨機(jī)過(guò)程：在已知它所處的狀態(tài)的條件下，它未來(lái)的演變不依賴于它以往的演變。如果將荷葉編號(hào)并用 , 210 ?xxx 分別表示青蛙最初處的荷葉號(hào)碼及第一次、第二次、??跳躍后所處的荷葉號(hào)碼，那么 ? ?0, ?nxn 就是 馬爾可夫 過(guò)程。 1951 年前后， 伊藤清在 ，建立了隨機(jī)微分方程的理論，為研究 馬爾可夫 過(guò)程開辟了新的道路。 20 在馬爾可夫性的定義中， 現(xiàn)在 是指固定的時(shí)刻，但實(shí)際問(wèn)題中常需把馬爾可夫性中的“現(xiàn)在”這個(gè)時(shí)刻概念推廣為停時(shí)（見隨機(jī)過(guò)程）。在相當(dāng)一段時(shí)間內(nèi)，不少人認(rèn)為馬爾可夫過(guò)程必然是強(qiáng)馬爾可夫過(guò)程。 21 3 本文的主要結(jié)果 隨機(jī)微分方程的均方有界解 上文已經(jīng)提到，即使對(duì)于常微分方程，人們也沒(méi)有一種簡(jiǎn)單的方法僅依靠系數(shù)上附加的條件判定微分方程是否存在有界解。于是利用著名的 ArzelaAscoli 引理，存在子列 ? ? ??? ??? n ， 使得函數(shù)序列 ? ?),( xtf n?? ，對(duì)于所有 RS? ，在集合 ? ? Snn ?, 上一致收斂 ， 不 妨記這個(gè)收斂的極限為 ),( xtFn 。從而 st? 。于是根據(jù)這種存在性，我們可以假設(shè)有一列解 )(tn? , nf , ng 和 )(tWn ,則 )(tn? 為定義在 [? ???? ,0 nt ? 上的滿足： Mrntr ??? 2)(sup0 ?? 的解，并且對(duì) ntst ???? 0 , )())(,())(,()()( rdWrrgdrrrfstnnts nts nnn ???? ?? ???. 對(duì)任意 Ra? ， n 足夠大時(shí)， n? 在 ? ???,a 上有定義，從文獻(xiàn) [4]中關(guān)于鞅不等式的論證可知， ??n? 存在子列于 ? ???,a 中任意緊區(qū)間上，依分布收斂至某個(gè) )~ t（? ，并且對(duì)某個(gè)布朗運(yùn)動(dòng) W~ ,這個(gè)極限在區(qū)間 ? ???,a 上，滿足方程： ? ???? ts ts rWdrrgdrrrfst )(~))(~,())(~,()(~)(~ ????. 這個(gè)方程其實(shí)是（