【正文】 any areas of population ecology. In fact, the use of stochastic differential equations to model can be more realistic and more accurate description of the system39。 the second chapter is the related content to give knowledge will be used in this paper, the basic concept and the basic theorem including stochastic differential equations will be used。 附錄 .......................................................................................................................................28 1 1 緒論 有界解的存在性 最早的常微分方程理論之中并沒有對微分方程解的定性的研究，因為古典微分方程都是可以用數(shù)學(xué)分析的方法求得通解的。對于微分方程，方程的解無初等表示其對于應(yīng)用科學(xué)而言幾乎可視為不存在，因而從那個時代開始，微分方程定性研究以及對解的逼近和估計逐漸成為該領(lǐng)域的主要發(fā)展趨勢。 除了動力系統(tǒng)的基礎(chǔ)理論之外， Birkhoff 的另一大成就是對于解的回復(fù)性的?；貜?fù)性是指，在經(jīng)過充分長的時間后，解（或者動力系統(tǒng)的軌線）會回到初值或初值在某一拓撲意義下的“附近”。注意到歐氏空間里有界性蘊含緊性，因而解或軌線的有界性是其具有回復(fù)性的一個必要條件。但遺憾的是，至今仍沒有有效的方法在不確定微分方程解的一些其他特別性質(zhì)之前確定有界解的存在，因而在研究有關(guān)回復(fù)性或穩(wěn)定性（通過 Lyapunov 對穩(wěn)定性的 定義我們不難看出，穩(wěn)定性是一種強回復(fù)性）的經(jīng)典文獻中（見 Yoshizawa [25][26][28][29], Fink [8] 以及 Levitan [31]),人們都在需要有界解時直接假設(shè)其存在。 2 布朗運動 人類對布朗運動的研究始于 1827 年，英國植物學(xué)家 R. Brown [1]發(fā)現(xiàn)散布在液體或氣體中的微粒（確切說是花粉顆粒）的不規(guī)則運動。這是與早期百科全書學(xué)派視科學(xué)研究為對客觀事物分類，歸納和觀察記錄的態(tài)度相契合的。 Einstein 在他的“奇跡年”（ 1905 年 [6])對布朗運動做出了數(shù)學(xué)解釋，并以布朗運動的形式提出了隨機微分方程的概念（詳見 [7])。在 Einstein 的年代，數(shù)學(xué)界還不存在現(xiàn)代概率論或隨機過程理論，因而他對布朗運動的看法是基于統(tǒng)計物理學(xué)的，因而 Einstein 的隨機微分方程從數(shù)學(xué)角度看來仍顯得不夠嚴格 [17]。而（ )中系數(shù) ? 被稱為擴散系數(shù)，而其解為 txettxp????40 24),( ??， 這揭示了布朗運動與正態(tài)分布間的關(guān)系。 1908 年， Perrin 利用實驗驗證了描述布朗運動的方程。上式中 ， 代表粒子質(zhì)量； A 仍為 Einstein 定義的擴散項，與熱運動的擴散性相關(guān)；而最后的 ? 則是一個隨機過程代表來自其它粒子的擾動。后來 Wiener [23]于 1923 年對布朗運動做出了準確的數(shù)學(xué)定義，因而布朗運動又稱 Wiener 過程。 本文結(jié)構(gòu) 本文主體部分由四章組成 .第一章為緒論，系統(tǒng)地介紹了本文的研究背景；第二章介紹了本文中各種符號的定義和我們主要應(yīng)用的預(yù)備知識；第三章中，我們簡單地討論了如何利用一些具有特殊性質(zhì)的 Lyapunov 函數(shù)來判斷隨機微分方程是否具有均方有界的解。限于水平，文中出現(xiàn)不當 處敬請各位專家批評指正，萬分感謝！ 4 2 預(yù)備知識 本章中我們會介紹一下本文涉及的一些預(yù)備知識。 其名稱來自 俄國 數(shù)學(xué)家 亞歷山大李亞普諾夫函數(shù)在穩(wěn)定性理論及控制理論中相當重要。不過目前還找不到一般性的方式可建構(gòu)（或找到）一個系統(tǒng)的李亞普諾夫候選函數(shù)，而找不到李亞普諾夫函數(shù)也不代表此系統(tǒng)不穩(wěn)定。 針對自治系統(tǒng)的李亞普諾夫定理，直接使用李亞普諾夫候選函數(shù)的特性。不過此定理只是一個證明平衡點穩(wěn)定性的充份條件，不是必要條件。 Lyapunov 指數(shù)是衡量系統(tǒng)動力學(xué)特性的一個重要定量指標 ,它表示了系統(tǒng)在相空間中相鄰軌道間收斂或發(fā)散的平均指數(shù)率。 Lyapunov 指數(shù)的和表征了橢球體積的增長率或減小率 ,對 Hamilton 系統(tǒng) ,Lyapunov 指數(shù)的和為零 。如果耗散系統(tǒng)的吸引子是一個不動點 ,那么所有的 Lyapunov 指數(shù)通常是負的。 Lyapunov 對這種與初值有關(guān)的穩(wěn)定性給出了一個充分條件，或者說提供了一種判別方法。 由于 ),(xtV 的連續(xù)性， 當 ),xt（ 包含于空間 dRR? 中任一 緊集 SIK ?? (此 處? ? dRSRbaI ??? , 為緊集 )，則顯然 V 在 K 上有界，從而當 )(txx? 為方程（ )的一個解，并且諸有界性條件仍然存在時，我們有： ? ?),(),(1l i m:),(0 xtVxhtVhxtV h ??? ???， () 上述 ),( xtV? 在部分文獻中 [27][30]被記為 ),()( xtV? 。對此要注意的是，若方程的解是 ?n 維取值的，即 ))(,),(),(()( 21 txtxtxtx n?? ， 而方程為 dtxtfdx ),(? ， 其中 )),(,),(),((),( 21 xtfxtfxtfxtf n?? . 則有（ )的高維形式： ))(,()(,())(,(),(1)( txtftxtxVtxtdtdVxtV ini i ?????? ??. （ ） 6 解的存在唯一性 我們首先對比一下確定性系統(tǒng)的兩種獲得解存在唯一性的方法：最常見的當然是 Picard定理： 定理 若常微分方程 ()的系數(shù) ),( xtf 在閉域： bxtR ???? ??? ,: 上連 續(xù)，并滿足局部 Lipschitz 條件 yxLytfxtf ??? ),(),( ， 其中 0?L 為 Lipschitz 常數(shù) ,則在 R 上 ()存在唯一解滿足初值問題 ?? ?)(x 。我們假設(shè)上一節(jié)中提及的 Lyapunov 函數(shù)滿足某種 Lipschitz 性： yxLytVxtV ??? ),(),( ， 則對連續(xù)可微函數(shù) )(tx ， )(ty 有 ? ?)))(,()(,(1l i m))(,(0 txtVhtxhtVhtxtV h ????? ??， ? ?)))(,()(,(1l i m))(,(0 tytVhtyhtVhtytV h ????? ??， 于是 ? ?? ?? ?)()(1l i m)))(,()(,(1l i m)))(,()(,(1l i m)))(,()(,(1l i m))(,(0000htxhtyLhtxtVhtxhtVhhtxhtVhtyhtVhtytVhtxhtVhtytVhhhh??????????????????????????? 不難想象，利用 Lyapunov 函數(shù)同樣可以得到解的存在唯一性： 定理 (詳見 [30])首先，若已知某個函數(shù) )(t? ）是微分方程 ()的解，則顯然 ()經(jīng)過偏移可得： )),(,( txtfx ???? 于是解 )(t? 的唯一性體現(xiàn)在上一方程零解的唯一性。則若存在Lyapunov 函數(shù) ),( xtV 滿足 Lipschitz 條件，則（ )的解在 ? ???，0 上是對初值唯一存在的。在進行關(guān)于隨機微分方程的討論前，我們有必要介紹一些與概率論及隨機過程相關(guān)的預(yù)備知識： ? 代數(shù) 在數(shù)學(xué)中，某個 集合 X 上的 ? 代數(shù)（ ? algebra）又叫 ? 域 （ ? field），是 X 的所有子集 的集合（也就是 冪集 ）的一個子集。 ? 代數(shù)可以用來嚴格地定義所謂的“ 可測集 ”，是 測度 論 的基礎(chǔ)概念之一。 可測空間，有限測度，概率測度和概率空間 概率測度 (probability measure)概率論、遍歷理論等數(shù)學(xué)分支中常用的一種重要的有限測度。 定義 (可測空間，有限測度，概率測度和概率空間） 設(shè) ? 代數(shù) F ,集 函數(shù)??? RFP :)( 滿足條件 ???)(P 。若一列子集 FAn? ,，?,2,1?n 且其中諸項互不相交，則 (這被稱為可列 可加性 )： )()(11 ????? ? n nn n APAP ? 則稱 )(?P 為 F 上的一個有限測度，若忽略條件 a,則 P 為上的一個測度 , 而 ),( PF? 為一個可測空間。稱 ),( PF? 為概率空間，本文中，我們恒以 8 此記號表示概率空間。 可測映射與隨機變量 一、 可測映射： 可測映射是測度論中的一個數(shù)學(xué)概念，它是從一個可測空間到另一個可測空間的滿足一定條件的變換關(guān)系，與之相關(guān)的概念有可測空間、可測函數(shù)，它主要應(yīng)用于抽象積分的變換方面。若 f 是 E?? 的映射，使得 FCf ?? )(1 成立，則 f 為可測映射。 a. ? ? FafIRa ???? , 。 c. ? ? FafIRa ???? , 。 性質(zhì) 3： ),( F? 上實值（復(fù)值）可測函數(shù)全體構(gòu)成實域（復(fù)域）上的一向量空間。 a. 若 gf? 處處有意義，則 gf? 為可測函數(shù)。 二、 隨機變量： 隨機變量（ random variable）表示隨機試驗各種結(jié)果的實值單值函數(shù)。一個 隨機 試驗可能結(jié)果（稱為基本事件）的全體組成一個基本空間 ? 。 9 隨機變量基本類型： 簡單地說，隨機變量是指 隨機事件 的數(shù)量表現(xiàn)。另有一些現(xiàn)象并不直接表現(xiàn)為數(shù)量，例如人口的男女性別、試驗結(jié)果的陽性或陰性等，但我們可以規(guī)定男性為 1，女性為 0，則非 數(shù)量標志 也可以用數(shù)量來表示。 按照隨機變量可能取得的值，可以把它們分為兩種基本類型： ① 離散型隨機變量 ，即在一定 區(qū)間 內(nèi)變量取值為有限個，或數(shù)值可以一一列舉出來。 ② 連續(xù)型隨機變量 ，即在一定區(qū)間內(nèi)變量取值有無限個，或數(shù)值無法一一列舉出來。 隨機變量不確定性 隨機變量在不同的條件下由于偶然因素影響，其可能取各種隨機變量 不同的值，具有不確定性 和 隨機性 ，但這些取值落在某個范圍的概率是一定的，此種變量稱為隨機變量。如分析測試中的測定值就是一個以概率取值的隨機變量，被測定量的取 值可能在某一范圍內(nèi)隨機變化，具體取什么值在測定之前是無法確定的，但測定的結(jié)果是確定的，多次重復(fù)測定所得到的測定值具有統(tǒng)計規(guī)律性。 定義 (可測映射與隨機變量） 設(shè)有自可測空間至可測空間的映射 ,若對映射的相空間中任意可測集，其原相在原相所在的空間的中測度意義下仍然可測，則我們稱之為可測映射。則稱可測映射 EX ??: 為一個隨機變量。 隨機過程，停時 一、 隨機過程： 隨機過程 整個學(xué)科的理論基礎(chǔ)是由 柯爾莫哥洛夫 和 杜布 奠定的。 1) 隨機過程的研究： a. 隨機過程研究方法 研究隨機過程的方法多種多樣，主要可以分為兩大類：一類是 概率 方法，其中用到軌道性質(zhì)、停時和隨機微分方程等；另一類是分析的方法，其中用到 測度論 、微分方程、半群理論、函數(shù)堆和 希爾伯特空間 等。另外， 組合方法和 代數(shù)方法 在某些特殊隨機過程的研究中也有一定作用。中國學(xué)者在 平穩(wěn)過程 、 馬爾科夫過程 、 鞅論 、極限定理、 隨機微分方程 等方面做出了較好的工作。人們研究這種過程，是因為它是實際隨機過程的數(shù)學(xué)模型，或者是因為它的 內(nèi)在 11 數(shù)學(xué)意義以及它在 概率論 領(lǐng)域之外的應(yīng)用。除上述 正態(tài)過程 、二階過程外，重要的還 有獨立增量過程、 馬爾可夫過程 、 平穩(wěn)過程 、鞅點過程和 分支過程 等。從它們出發(fā) ,可以構(gòu)造出許多其他過程。 二、 停時 停時 (stopping time)：一類隨機時刻 .指具有某種與將來無關(guān)性質(zhì)的隨機時刻。 定義 (隨機過程，停時 ） 設(shè) RI? 為非空指標集， ),( PF? 為概率空間，