【正文】 ??1 ieszR 定理： 若 ? ?? ? ,1,0 ?? Cf 那么 存在唯一的 ? ?,1,00Vg? 使 ? ?,baCx?? 有? ? ? ? ? ?tdgtxxf ?? 10 ， 且有 ? ?gVf 10? 。 因此 ??x? 是線性泛函且 ? ? ? ? ddxx ?????? 110 00 ?? 。 推論 ：如果 X 是線性賦范空間， G 是 X 上的子空間， Xx?0 , ? ?Gxd ,0 ? 0in f0 ???? dyxGy, 那么 必 存 在 X 上的有界線性泛函 f ，滿足： ??1 ? ? .0, ??? xfGx ??2 ? ? .0 dxf ? ??3 .1?f 證明：設(shè) ? ?01 , xGspanG ? ， 由于 Gx?0 ， 故 1G 中的元素 y 可唯一地表示為0txxy ?? Gx? 。 定理 （延拓定理） : 如果 X 是線性賦范空間， G 是 X 的線性子空間， f 是 G 上的任一線性有界泛函，那么可以作出 X 上線性有界泛函 F ，滿足： ??1 當 G?x 時， ? ? ? ?xfxF ? ??2 GX fF ? 其中 XF 表示 F 作為 X 上的線性泛函的范數(shù)， Gf 表示 G 上線性泛函的范數(shù)。 ??3 PL ??ba, （ ????P1 ）的共軛空間是 ?? baLq , ???????? ?? 1q1p1。 命題 ： 幾個具體空間上線性連續(xù)泛函的一般形式： ??1 實 n 維歐式空間 nR 的共軛空間是 nR 自身。 ? ? ? ? ? ? ? ?l im l im l imn n nn n nf x y f x y f x f y? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?.f x f y???? 取 1N ， 當 1m n N?? 時 ， 1mnff??則 1mnff??, xX?? 有 ? ?mmf x f x? ? ?xfn 1?? ， 讓 Nn? 固定，令 ,??m 有 ? ? ? ? xfxf n 1?? ，這就證明了 f 是X 上的線性有界泛函即 ??Xf 。 定理 （ X? 的完備性）： 如果 X 是線 性賦范空間， 那么 其共軛空間 X? 是 Banach 空間。 證明：因為 ： ? ?supxfxf x???所以 ： ??fx是 ? ? ? ?fx xx ??的上界，所以 有： f ? ? ? ? ?fx xx ??從而： ? ?f x f x? 。 8 共軛空間 命 題 泛函范數(shù)：如果 fX?? ， 定義 ??fx的范數(shù)為 ? ?0supxfxf x??可以驗證： f 滿足范數(shù)的三條公理，事實上有： ??1 正定性： ? ? ,fx???有 ? ? 0,fx? ? ? ? ? x f x ?? ? ? ??2 正齊性：對 ?∈ K， 有 ? ? ? ?, s u pxfxK f x x??????? ? ? ? ?s u p .xfx fxx?? ???? ??3 三角不等式性： 12,f f X??? ? ?? ? ? ?? ?1212 s u pxf f xf f x x????? ? ? ? ?12supxf x f xx???? ? ? ? ?1212s u p s u p .xxf x f x ffxx????? ? ? ? 所以 X? 是賦范空間，這個空間稱為 X 的共軛空間。 例 4：設(shè) 21, XX 是線性賦范空間， ? ?????? ,3,2,1: 21 nxxT n 是線性有界算子。 反之不真。 例 3：設(shè) ? ?yxT ?? ,證明：如果 T 有界，則 ? ? ? ?XxTxxTN ??? ,0是閉集。 例 2：對 ?abxC?? ? ， ， 令 ? ? ? ?baf x x t dt??，則 ?, , ,x y C a b???? 有 ? ?f x y??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?b b ba a ax t y t d t x t d t y t d t f x f y? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?????? ? ?所以： ??fx是?,Cab?? 上的線性泛函。 充分性：設(shè) ??fx在 D 上有界，則 0, ,nM x D? ? ? ? ? ?0nxn? ??有 ? ? ? ?0nnf x M x n? ? ? ?從而 有 在 0 0x? 點連續(xù)，由定理 可知 ： ??fx在D 上連續(xù)。） 線性有界泛函與 線性 連續(xù)泛函 命題 ：如果 ??fx是 D 上的線性泛函，則 ??fx在 D 上連續(xù) 等價于 ??fx在 D 上有界 。 充分性：設(shè) ? ? ? ?, x D , x ,nnx D x n? ? ? ? ?則 00nx x x? ? ? ? ?.n?? ??fx在 0xD? 連續(xù) .于是 有 ? ? ? ? ? ? ? ?nnf x x x f x f x f x? ? ? ? ? ? ?.n?? 那么有 ? ? ? ?? ?nf x f x n? ? ?即 ??fx在 x 點連續(xù)，因此 ??fx在 D 上連續(xù)。 定理 ：若 D 是 X 的線性子空間， ? ? 1:f D X R??，那么： ??fx在 D 上連 續(xù) ??fx在某一點 0xD? 處連續(xù)。 ??3 ,??? lx ? ? xxxxfiin ??? ?1s up,即 01???M ，使 ? ? .xMxf ? 所以 ??xf 是有界的。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?bxaxbxaxxg ???? ???? ? ? ? ?txtxbtabta ???? ?? m a xm a x ?? ? ? ? ? ? ? .m a x xtxbta ???? ???? ??令 ?? ??M ,則 ? ? xMxg ? .所以 ??xg 6 是有界的。 ? ?baCx ,?? ,則 ? ?txxbta ??? max,那么： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? dttytxdttytxxf baba 00 ?? ??? ? ?? ? ? ? ? ?dttyxdttytx baba bta ?? ??? 00m a x.令 ? ?dttyM ba?? 0,則 ? ? .xMxf ? 從而 ??xf 是有界的。 例 3：在 ? ?baC, 上定義泛函， ? ? ? ?baCtx ,?? , ??ty0 在 ? ?ba, 上連續(xù)，證明： ? ? ?? ??dttytxxf ba 0??和 ? ? ? ? ? ?bxaxxg ?? ?? 是線性有界的。 解： 設(shè) ? ?12, , , na a a a? 是 nR 中的固定向量， ? ?12, , , nnx x x x R? ? ?，令 5 ? ? 1n iiif x a x??? 則 f 是 nR 上的線性有界泛函。事實上： 11, , x , y ,RR??? ? ? ? ? ? ? ? ? .f x y x y f x f y? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 那么 11, ,M x R? ? ? ? ? ? .f x x M x M x? ? ?所以 ??fx是 R1 上的線 性有界泛函。 例 1：區(qū)別線性有界與微積分中的有界概念的不同。 若 1KR? ， 那么稱 f 是實線性泛函 ； 若 K=C， 那么稱 f 是復線性泛函 ； 若 D=X， 那么 稱 f 是 X 上的線性泛函。 ??2 因為： ? ?,nnx x y y n? ? ? ?所以： lim 0nn xx?? ?? lim 0.nn yy?? ??于是有： . ? ? ? ? ? ?l im l im l im l im 0n n n n n nn n n nx y x y x x y y x x y y? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?從而有 ： lim ,nnn x y x y?? ? ? ?即 ? ?.nnx y x y n? ? ? ? ? l im l im 0 ,nnnnx x x x? ? ?? ? ? ?? ? ? ?‖ 即 ? ?.nx x n?? ? ? 定理 ：如果 X 是線性賦范空間， d 是由范數(shù)導致的距 離， 那么 0, , , ,x y z X k?? ? ?有 4 ??1 平移不變性： ? ? ? ?00, , .d x z y z d x y? ? ? ??2 絕對齊次性： ? ? ? ?, , .d x y d x y? ? ?? 證明： ??1 ? ? ? ? ? ? ? ?0 0 0 0, , .d x z y z x z y z x y d x y? ? ? ? ? ? ? ? ? (2) ? ? ? ?, , .d x y x y x y d x y? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 3 線性有界泛函與共軛空間 線性賦范空間泛函有界性在不少問題的研究中常常起著重要的作用，又因其與連續(xù)泛函有著密切的聯(lián)系，所以對其進