【正文】 ? ?TDx? 。在大學(xué)期間，何老師給我們上的各種課程，給予我們很多的知識(shí)，體現(xiàn)何老師淵博的專業(yè)知識(shí) 和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度；在修改論文時(shí)總是犧牲他的休息時(shí)間，他的這種無(wú)私奉獻(xiàn)的敬業(yè)精神令人欽佩，在生活中何老師的為人對(duì)我的論文寫(xiě)作乃至我人生都有一定的積極影響，在此我向他表示我誠(chéng)摯的謝意。正是由于他們的指導(dǎo)，我才能在各個(gè)方面取得顯著的進(jìn)步，在此我向他們表示衷心的感謝，并祝老師們培養(yǎng)出越來(lái)越多的優(yōu)秀人才，桃李滿天下！ 再次，我要感謝和我一同度過(guò)大學(xué)學(xué)習(xí)生涯的同窗好友閆芹娟、鄧美蘭、曹海琴、程文、 王璦玲、景娟對(duì)我的關(guān)心與幫助。從而 有 Txy? 。 引理 (閉算子的等價(jià)條件 )： 如果 21 XX， 是線性賦范空間， ? ? 21: XXTDT ?? 是線性算子，那么 T 是閉算子等價(jià)于 ? ?TDxn?? ，當(dāng) yTxxx nn ?? , 時(shí)必有 ??TDx? 而且 yxT ? 。 命題 線性有界算子空間： 如果 YX, 是數(shù)域 K 上的賦范線性空間， 那么 X 到 Y中的有界線性算子的全體記作： ? ?YXB , 。取 nR 中的范數(shù)為 2112 ??????? ??ni ixx ， Axy? 用分量表示為 ? ?mixay jnj iji ,2,11 ????? ??，應(yīng)用柯西不等式： 21 122 ? ?? ? ?????????? minj jijxayAx ..2121122112? ??? ?? ??????????????????????????? minjjnjij xa? 21 12 xaminj ij ??????????? ?。 證明 : KXyx ??? ?? , ， 有 ? ? ? ?yxayxT ??? ???? = ? ? ? ?ayax ?? ? ? TyTx ?? ? 。 D 為 T 上的線 性算子， 記 為 ??TD ； ? ? ? ?? ?TDxTxyyTR ??? ,是 T 的值域。 因此 ??x? 是線性泛函且 ? ? ? ? ddxx ?????? 110 00 ?? 。 命題 ： 幾個(gè)具體空間上線性連續(xù)泛函的一般形式： ??1 實(shí) n 維歐式空間 nR 的共軛空間是 nR 自身。 8 共軛空間 命 題 泛函范數(shù)：如果 fX?? ， 定義 ??fx的范數(shù)為 ? ?0supxfxf x??可以驗(yàn)證： f 滿足范數(shù)的三條公理，事實(shí)上有： ??1 正定性： ? ? ,fx???有 ? ? 0,fx? ? ? ? ? x f x ?? ? ? ??2 正齊性：對(duì) ?∈ K， 有 ? ? ? ?, s u pxfxK f x x??????? ? ? ? ?s u p .xfx fxx?? ???? ??3 三角不等式性： 12,f f X??? ? ?? ? ? ?? ?1212 s u pxf f xf f x x????? ? ? ? ?12supxf x f xx???? ? ? ? ?1212s u p s u p .xxf x f x ffxx????? ? ? ? 所以 X? 是賦范空間，這個(gè)空間稱為 X 的共軛空間。 例 2：對(duì) ?abxC?? ? ， ， 令 ? ? ? ?baf x x t dt??，則 ?, , ,x y C a b???? 有 ? ?f x y??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?b b ba a ax t y t d t x t d t y t d t f x f y? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?????? ? ?所以： ??fx是?,Cab?? 上的線性泛函。 定理 ：若 D 是 X 的線性子空間， ? ? 1:f D X R??，那么： ??fx在 D 上連 續(xù) ??fx在某一點(diǎn) 0xD? 處連續(xù)。 例 3：在 ? ?baC, 上定義泛函， ? ? ? ?baCtx ,?? , ??ty0 在 ? ?ba, 上連續(xù)，證明： ? ? ?? ??dttytxxf ba 0??和 ? ? ? ? ? ?bxaxxg ?? ?? 是線性有界的。 若 1KR? ， 那么稱 f 是實(shí)線性泛函 ； 若 K=C， 那么稱 f 是復(fù)線性泛函 ； 若 D=X， 那么 稱 f 是 X 上的線性泛函。 引理 線性賦范空間中的極限： 定義：依范數(shù)收斂等價(jià)于依距離收斂。 命題 巴拿赫 （ Banach）空間： 如果 X 是一線性賦范空間， 若 X 按照距 離 d x y = x y?（ ， ） 是完備的， 那么 稱 X 為巴拿赫空間。但總的說(shuō)來(lái)討論得還不夠系統(tǒng)也不夠透徹，本課題在原有研究的基礎(chǔ)上進(jìn)行了更多方面的研究，更加系統(tǒng)地對(duì)線性賦范空間泛函有界性進(jìn)行闡述。因此對(duì)線性賦范空間泛函有界性的研究是很有必要的，它有助于 研究者 的掌握和應(yīng)用。 finally,the functional boundedness is extended to two linear normed space,then the mapping between the two personal space is called bounded linear the normed linear space of bounded functional of is very necessary,it is to grasp and study help beginners. Keywords:linear normed space。 2 線性賦范空間 在距離空間中我們引入了點(diǎn)列的極限，點(diǎn)列的極限是微積分中數(shù)列極限 在抽象空間中的推廣，但是只有距離結(jié)構(gòu)沒(méi)有代數(shù)結(jié)構(gòu)的空間在應(yīng)用時(shí)受到許多的限制。 定義 11ppiixx????? ????? 滿足范數(shù)公理。 ??2 線性運(yùn)算的連續(xù)性： 如果 ? ?,nnx x y y n? ? ? ? 則 ? ?,.n n nx y x y x x n??? ? ? ? ? ?其中 ? 為常數(shù)。 解： ? ?f x x? 在 1R 上是無(wú)界函數(shù)，但 是 作為 1R 到 1R 的線性泛函都是線性有界泛函。 ??2 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?bnybmxanyamxnymxg ????? ?? ? ? ? ?? ?bxaxm ?? ?? ? ? ? ? ?? ?byayn ?? ? ? ? ? ?yngxmg ?? .所以 ??xg 是有界的。 （特別提醒：線性泛函 ??fx在 x =0 連續(xù)，那么就有： ??fx在 D 上連續(xù)。請(qǐng)問(wèn) 反之如何 ? 證明：如果 T 有界，那么 T 連續(xù)，則 ? ?? ???? TNx0 , ? ?TNxn?? ,使 0xxn? ,所以有： .0lim0 ?? ?? nn TxTx即 ? ?TNx ?0 .所以： ? ? ? ?XxTxxTN ??? ,0是閉集。 ??2 如果 ??fx是線性有界泛函， 那么 ??fx的范數(shù)有如下的等價(jià)形式：‖f ‖ ? ?1supx fx??或 ? ?1supxf f x?? 證明： ? ?su p su pxxfx xffxx???????? ???? ? ? ? ? ? ?1 1 1 1s u p s u p s u p s u py y y yf y f y f y f y f? ? ? ?? ? ? ? ?。 ??4 ?? ba，C 的共 軛空間是 0V ??ba， 。 ??2 如果 X 是線性賦范空間， 那么 X 與二次共軛 ?X 的某個(gè)子空間 x 線性等距同構(gòu)。 ??2 如果 ? ? ???TDdim ， 那么 dimR(T) ≤ dimD(T) 命題 算子有界： 如果 ? ? 21: XXDT ?? 是線性算子，那么 稱 T 在 D 上有界 是指 0??M ，使 得 對(duì)任何 Dx? 有 ， MxTx? 。 證明： ??1 ? ?baCxx , 21 ? ， ??， 為實(shí)數(shù)， 那么 有 ? ??? 21 xxT ?? . ? ? ? ?? ? ????? dxxta? ?? 21 ? ? ? ? ?????? dxdx tata ?? ?? 21= 21 TxTx ?? ? 。 證明：取 ?? nn ttx ? ， 那么? ? 1max1,0 ?? ? ntn tx， 但 是 nntTx nn ??1，所以 T 是線性 無(wú)界 算子 。 例 1： 1TT ? . 證明： ??1 對(duì) Xx?? ,因?yàn)?:?????????? ??? XxxxTxT ,0:s up1,所以： 1TxTx? 從而 有： xTTx 1? ,而 ? ?XxMMxTxMT ???? ,0,:i nf 所以 。 有界性與閉性 對(duì)于線性算子已有三個(gè)重要的概念：連續(xù)性、有界性、閉性，我們已經(jīng)知道對(duì)于線性算子的連續(xù)性和有界性是等價(jià)的，因此對(duì)于線性算子實(shí)際上只有兩個(gè)不同的概念即有界性與閉性。 證明：顯然知 ： T 是無(wú)