【正文】 最后，我要感謝我的家人，他們的鼓勵與關(guān)懷給我的生活提供了無窮的動力與源泉，促使我不斷進步。 17 參考文獻 [1] 胡適耕 . 泛函分析 [M]. 北京：高等教育出版社， 2022. [2] 夏道行等 . 實變函數(shù)論與泛函分析 [M]. 北京：人民教育出版社， 1979. [3] 張恭慶等 . 泛函分析講義（上冊） [M]. 北京：北京大學(xué)出版社， 1987. [4] 李廣民 ,劉三陽 . 應(yīng)用泛函分析原理 [M]. 陜西：西安電子科技大學(xué)出版社， 2022 [5] 李曉愛 . 線性賦范空間上泛函列的一致連續(xù)性定理 [J]. 延安大學(xué)學(xué)報 (自然科 學(xué)版 )： 2022： 01:910. [6] 李宗鐸 . 線性賦范空間中幾個概念的探討 [J]. 岳陽大學(xué)學(xué)報： 1989： 02:5557. [7] 王艷博 ,張云峰 . 關(guān)于泛函分析中定理的推廣 [J]. 哈爾濱理工大學(xué)學(xué)報： 1998： 01:8184. [8]鄭維行 ,王聲望 .實變函數(shù)與泛函分析概要 [M]. 北京：人民教育出版社 ， 1980. [9]劉培德 .泛函分析基礎(chǔ) [M].北京：科學(xué)出版社， 2022. [10]葉懷安 .實變與泛函 [M]. 安徽：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社， 1991. [11]趙煥光 .泛函分析入門 [M].四川：四川大學(xué)出版社， 2022. 18 致 謝 非常感謝何瑞強老師在我大學(xué)階段尤其畢業(yè)設(shè)計階段給我的指導(dǎo)，從最初的論文選題，到資料收集，到問題的設(shè)計，到提綱的擬定，到論文定稿，他給了我耐心的指導(dǎo)和很多的鼓勵。由 引理 知 ：T 是閉線性算子。特別地：當(dāng) ??TD ? 1X 時， T 是閉線性算子。 證明：必要性： ? ? ? ?yxTxx nn , ?? 當(dāng) ? ? ? ?yxTxx nn , ? 時，明顯的有： yTxxx nn ?? , ，由條件知 ? ?TDxn?? 且 yxT ? ，那么有 ： ? ? ? ?Txxyx , ? ? ??TG ，即 ??TG 中每一收斂點斂的極限均存在 ??TG 中，從而有 ??TG 是閉集即 T 是閉算子。 證明：對 1??r ，由 TrT ? ， 可取 ? ?xSy? ，使得 rTTy? ， 令TyTyx?，從而有 : TTx? 。 命題 算子范數(shù)：如果 T 是線性賦范空間 X 到線性賦范空間 Y 的有界線性算 子， 那么 稱xTxT x Xx 01 sup???為算子 T 的范數(shù)。下證 T 是有界的。讓 ??? ??minj ijaM 1 12 ， 可知 ： A 是線性有界算子。 例 3：證明 nm? 矩陣 ? ?ijaA? 是線性有界算子。 即 T 為線性算子，又因為： xaaxTx ?? ，所以 ： T 是線性有界算子。 線性有界算子與線性連續(xù)的關(guān)系 命題 如果 ? ? 21: XXDT ?? 是線性算子， 那么 T 在 D 上連續(xù)等價于 T 在某一 點 Dx?0 上連續(xù)。 ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? 1k e r ?????? TTxDxTTN 那么 稱 T 為 零空間（或核）。 證明：由于 XCx ?: 是有界的， 那么 Cz?? 有 ? ?? ??zxf ??zxf ? Mf ，所以 ??xf 是有界的整函數(shù)，由劉維爾定理可知： ,0 Cz?? ,Cz?? 有? ?? ? ? ?? ?0zxfzxf ? ， 即 ? ? ? ?? ? .00 ?? zxzxf 由 HahnBanach 定理可知： ? ? ? ? 00 ?? zxzx即 ? ? ? ?0zxzx ? 。 ? ? ? ? 00, 0 ?????? xxxGx ?? ， 0txxy ??? 1G? 1, RtGx ?? 。 （特別指出：泛恩 巴拿赫定理既保證了最小范數(shù)延拓的存在性又指出了這 10 個最佳延拓的范數(shù)就是 f 的范數(shù)） 推論 ：（有界線性泛函足夠多定理） 如 果 X 是一線性賦范空間，對任何， Xx?0 ， 00?x ， 那么必存在 X 上的線性連續(xù)泛函 f 滿足： ??1 ? ? 00 xxf ? ??2 1?f 證明：若 ? ?kttxG ?? 0 ， 則 G 是由 0x 張成的子空間，其中 Xx?0 ， 00?x ，那么在 G 上定義泛函如下： ? ? 0xtx ?? ， Gtxx ?? 0 ，顯然 有 ? ? 00 xx ?? ，? ? xtxxtx ??? 00? ， Gtxx ??? 0 ，從而 有： 1?G? ，根據(jù) HahnBanach（延拓定理），可以把 G 上的線性有界泛函 ??x? 延拓到 X 上得到 f ，且有 ?Xf 1?G? 。 ??2 pl 的共軛空間為 ql （ 111,1 ??????qpp， p 、 q 互為共軛指數(shù)）。 證明：設(shè) ??nf 是 X? 的 基本列，要證 ??nf 收斂于 f? X? ，由基本列的定義 可知 ， 9 0, ,N?? ? ? 當(dāng) ,mn N? 時 ， 有 mnff???，于是 ,xX?? 有 ? ? ? ?m n m nf x f x f f x x?? ? ? ? （ 1） 由此可知 ??nf 是 1R 中的基本列， 由 1R 的完備性知： ??nf 在 1R 中收斂，設(shè) ??nfx= ??fx, xX? ,可 以 驗證 ??fx是線性有界泛函。 結(jié)論： ??1 當(dāng) ,fX?? xX? 時 ， 有 ： ? ?f x f x? 。例如：取 ? ?baCX ,?? , ? ?baCY ,? , ??txTx ?? ,則 YXT ?: 連續(xù)，若 0?Tx , 則 ?? ctx ? , ? ? ? ?? ?1RctxxTN ??? 是閉集，但 T 是無界算子。 又 由于 ??fx ? ? ? ? ? ? ? ?m a x .b b ba a aa t bx t d t x t d t x t d t b a x??? ? ? ? ?? ? ?所以 ??fx是 ?,Cab?? 上的線性有界泛函（或線性連續(xù)泛函）。 證明：必要性：用反證法，假設(shè) ??fx在 D 上無界， 0, ,nn x D? ? ? ? 使 ? ? .nnf x n x? 令 nnnxx nx? 那么 1 0nx n??? ?n?? .而 ? ? ? ?nnnfxfx nx? 7 ? ?11 1nnnnf x n xn x n x? ? ?這與 ??fx在點連續(xù) 相 矛盾，所以 有 ??fx在 D 上有界。 證明：必要性： ??fx在 D 上連續(xù)，顯然有： ??fx在 0xD? 連續(xù)。 例 4：證明通過 ? ? ? ? ? ? ???? lxxnxxf jn ,固定 ,定義 ?l 上為線性泛函，問： ??xf 是 有界的嗎？ 證明： ??1 1: Rlf ?? 是泛函； ??2 , ????? lyxk?? 則 ? ? nn yxyxf ???? ??? ? ? ? ?.yfxf ?? ?? 所以 ??xf 是線性的。 ? ?不全為零， ?? 證明： ? ?baCyxknm , ???? ??1 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?dttytyndttytxmdttytnymxnymxf bababa 000 ??? ????? ? ? ? ?.ynfxmf ?? 所以 ??xf 是線性的。 例 2：求實 n 維歐氏空間 nR 上的線性有界泛函。 命題 線性有界： 如果 ? ? 1:f D X R??是線性泛函，若存在 0M? ，對任 何 xD? ，有 ? ?f x M x? ，那么稱 f 是 D 上的線性有界泛函。 證明： ??1 因為： = x ,n n nx x x x x x? ? ? ? ?? ?0,nx x n? ? ? ?取 1?? 由? ?0 n ,nxx? ? ? ?故 ,N? 當(dāng) nN? 時有 1nxx??，所以 ： 當(dāng) nN? 時有1nxx??取 ? ?12m a x , , , , 1 ,NM x x x x??對每個 n,有 ? ?,nnd x x M? ??即 ? ?nx 有界。如果 X 是線性賦范空間， ??nx 是 X中的點列 ， ,xX? 若 lim 0nn xx?? ??就稱 ??nx 依范數(shù)收斂于 x。 例 2： ?,Cab?? 在通常加法，數(shù)乘意義下構(gòu)成線性空間，在 ?,Cab?? 上定義范數(shù)? ? ?,maxt a bx x t????可以驗證其滿足范數(shù)公理（ 1）、 （ 2）、（ 3），故 ?,Cab?? 是線性賦范空間。 例 1 : ? ? p1 2 n ii = 1x x = x x x xpl???? ??? ??? ? ? ??????，是線性賦范空間。這些空間中的元素不僅可以定義距離還可以定義某些代數(shù)運算，本部分主要介紹線性賦范空間，它較距 2 離空間有明顯的優(yōu)越性。 本文主要探討了 線性賦范空間泛函有界性的一些性質(zhì)以及泛函有界性在相關(guān)泛函理論方面的推導(dǎo)，全文共分為四個部分。continuous linear functional。 關(guān)鍵詞 ：線性賦范空間