張恭慶祝泛函分析上冊答案-wenkub.com
2025-06-21 02:52 本頁面
【正文】 t || x x0 ||a2．令t 174。 f (x0)．即|| x0 + t ( x x0) ||a2 Re(u0, x0 + t ( x x0)) 179。C滿足給出的不等式．x206。 a(x0, x0) Re(u0, x0) = f (x0)，( n 174。 a( x0 , x0 )，且(u0, xn) 174。 , M || xn x0 ||2 174。 )．即{ xn }為X中的基本列．由于X完備，故{ xn }收斂．設xn174。 )．因此|| xn xm ||2 163。N+ )．則由平行四邊形等式，|| xn xm ||a2 = 2(|| xn ||a2 + || xm ||a2 ) 4|| (xn + xm)/2 ||a2 = 2( f (xn) + Re(u0, xn) + f (xm) + Re(u0, xm) ) 4( f ((xn + xm)/2) + Re(u0, (xn + xm)/2))= 2( f (xn) + f (xm)) 4 f ((xn + xm)/2) + 2 Re( (u0, xn) + (u0, xm) (u0, xn + xm) )= 2( f (xn) + f (xm)) 4 f ((xn + xm)/2)163。C f (x)．注意到a(x, y)實際上是X上的一個內(nèi)積，記它所誘導的范數(shù)為|| x ||a = a(x, x)1/2，則|| d || x ||2 || u0 || (2(b a))2 = 4(b a)2．所以242。 f’(x)| [a, b] 3242。g’’(x) dx = 242。g’’(x) dx )2．因g’’(x) = 3x (a + 2b)，故242。 (242。 || x x0 || || z x0 || 163。 l r + (1 l) r = r．所以，C是X中的閉凸集．(2) 當x 206。 r }，故l206。 X | || x x0 || 163。 1 (x, en) 1 | (y, en)|2)163。 n 179。 n 179。 (229。X，有| 229。 || un um ||/(p1/2 ( 1 r )) e．令m 174。 D．e 0，存在N206。D，由(3)知{ un(z) }是C中的基本列，因此是收斂列．設un(z) 174。 k 179。 k 179。 p ( 229。 0 | a k |2/( k +1 ) | z | k) k 179。 0 | a k |2/( k +1 )．|| u ||2/(1 | z |)2 = (p 229。 k 179。 k 179。 k 179。 k 179。 b j*(p/( j +1 ))1/2) (j k (z), j j (z))= 229。 k 179。 k 179。 k 179。 k 179。 k 179。 k 179。 k 179。 0 )．(1) 如果u(z)的Taylor展開式是u(z) = 229。 j k(z)* dxdy= 229。 j k(z)* dxdy= 229。 j k(z)* dxdy= 229。 j k(z)* dxdy = 242。 k 179。{ fn}是X的正交規(guī)范基．：首先，令j k (z) = (( k +1 )/p)1/2 z k ( k 179。 n206。 n206。 n206。 X0，z206。 0是正交規(guī)范集．：容易驗證{en}199。 (z*)m/(2p)1/2 )/z dz= (1/(2pi))242。 (z*)n/z dz = (1/(2pi))242。 {q}．：( zn/(2p)1/2, zn/(2p)1/2 ) = (1/i)242。[b – 1, b] f(x)jn(x) dx= 242。[b – 1, b])．則f 206。Z pn jn，則(v, jn)= pn ( n206。．再用RieszFischer定理，在L2[b – 1, b]中，229。[a, b – 1) u(x)jn(x) dx．我們再把u看成是[b – 2, b – 1]上的函數(shù)(u在[b – 2, a)上去值為0)．那么pn就是u在L2[b – 2, b – 1]上關(guān)于正交集S1 = {jn(x) | n206。L2[a, a + 1]．同時把S = {e 2p i n x | n206。Z)，并且只與n有關(guān)，與c的選擇無關(guān)．(1) 當b – a =1時，根據(jù)實分析結(jié)論有S ^ = {q}．當b – a 1時，若u206。 O．這樣就證明了偶函數(shù)集E的正交補E ^是奇函數(shù)集O． 證明：首先直接驗證，c206。M ^．所以，N ^ 205。N ^，則y206。[0, T] (l e ( T t ))2 dt = 1．解出l = 177。[0, T] ( x(t ))2 dt )= 242。L2[0, T]，若|| x || = 1，由CauchySchwarz不等式，有| 242。 ||是不滿足平行四邊形等式的，因此，不能引進內(nèi)積( ||是可由某內(nèi)積( [0, 1] (242。 max y206。[0, 1]上的一致連續(xù)性，e 0，存在d 0，使得(x1, y1), (x2, y2)206。[0, 1] u(y) dy) dx )163。[0, 1] K(x, y) u(y) dy) dx )163。[0, 1]，| (S u)(t1) (S u)(t2) | = | 242。[0, 1] u(y) dy |/(m 242。[0, 1] (242。[0, 1] (242。[0, 1] (242。[0, 1] K(x, y) (u(y) v(y)) dy |163。[0, 1] K(x, y) u(y) dy 242。[0, 1] (S u)(x) dx = 1，u(x) 179。[0, 1] K(x, y) dy |= P．令(S u)(x) =
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