張恭慶祝泛函分析上冊(cè)答案-文庫(kù)吧資料
2025-06-30 02:52本頁(yè)面
【正文】 1 ))1/2j k (z), b j (p/( j +1 ))1/2j j (z)) = 229。 0229。 0 b j (p/( j +1 ))1/2j j (z) )= 229。 0 a k (p/( k +1 ))1/2j k (z), 229。 0 b j (p/( j +1 ))1/2j j (z)，(u, v) = ( 229。 0 a k (p/( k +1 ))1/2j k (z)，v(z) = 229。 0 b k z k．則u(z) = 229。 0 a k z k，v(z) = 229。H 2(D)，并且u(z) = 229。 0| b k |2/( k +1 ) +165。于是有 229。 0| b k (p/( k +1 ))1/2 |2 163。 0 )．由Bessel不等式，229。 k 179。 0的Fourier系數(shù)為a k (p/( k +1 ))1/2 ( k 179。 j 179。D j j(z) j 179。D (( j +1 )/p)1/2 z j j 179。 0 a j z j) D (229。D u(z) 0 a k z k，則k206。H 2(D)，設(shè)u(z) = 229。 0 )，則{ j k }k 179。N ( x, fn ) fn．因此{(lán)en}199。N ( x, en ) en + 229。N ( z, fn ) fn= 229。N ( y, en ) en + 229。 X0，故(x, fn) = ( y + z, fn) = ( y, fn) + ( z, fn) = ( z, fn)．故x = y + z = 229。N ( z, fn ) fn． 因z206。N ( y, en ) en，z = 229。 X0^．因{en}, { fn}分別是X0和X0^的正交規(guī)范基，故y = 229。X，由正交分解定理，存在x關(guān)于X0的正交分解x = y + z，其中y206。{ fn}是正交規(guī)范集，下面只證明{en}199。| z | = 1 zn m 1 dz = 0．因此，{ zn/(2p)1/2 }n 179。| z | = 1 zn| z | = 1 ( zn/(2p)1/2 | z | = 1 1/z dz = 1．若n m，則n m 1 179。| z | = 1 zn| z | = 1 ( zn/(2p)1/2 S1^ = S ^，故S ^ 185。[a, b – 1) u(x)jn(x) dx + 242。[a, b – 1) f(x)jn(x) dx + 242。L2[a, b]，f 185。[a, b – 1))，f(x) = v(x) (當(dāng)x206。Z)．設(shè)f : [a, b] 174。n206。n206。Z | pn |2 +165。Z }的Fourier系數(shù)．由Bessel不等式，229。[a, b – 1) )．記pn = 242。Z }也看成L2[a, a + 1]上的函數(shù)集．那么，在L2[a, a + 1]中，有v206。(b, a + 1])．則v206。L2[a, b]，且u206。Z }．其中的dn = || e 2p i n x || (n206。R，S = {e 2p i n x | n206。E ^，注意到f總可分解為f = g + h，其中g(shù)是奇函數(shù)，h是偶函數(shù)．因此有0 = ( f, h) = ( g + h, h) = ( g, h) + ( h, h) = ( h, h)．故h幾乎處處為0．即f = g是奇函數(shù)．所以有 E ^ 205。 M ^．：設(shè)偶函數(shù)集為E，奇函數(shù)集為O．顯然，每個(gè)奇函數(shù)都與正交E．故奇函數(shù)集O 205。M，也有(x, y) = 0．因此x206。N，(x, y) = 0．而M 205。 e ( T t )時(shí)，該函數(shù)達(dá)到其在單位球面上的最大值((1 e 2T )/2)1/2．：若x206。((1 e 2T )/2) 1/2．故當(dāng)單位球面上的點(diǎn)x(t ) = 177。R，使得x(t ) = l e ( T t )．再注意|| x || = 1，就有242。[0, T] (e ( T t ))2 dt = e 2T 242。[0, T] (e ( T t ))2 dt ) (242。[0, T] e ( T t ) x(t ) dt |2 163。 ||是不滿足平行四邊形等式的具體例子如下：設(shè)f(x) = (x – a)/(b – a)，g(x) = (b – x)/(b – a)，則|| f || = || g || = || f + g || = || f – g || = 1，顯然不滿足平行四邊形等式．：x206。 , ||應(yīng)滿足平行四邊形等式．而事實(shí)上，C[a, b]中范數(shù)|| , X，q(x + y) q(x y) = a(x + y, x + y) a(x y, x y)= (a(x, x) + a(x, y) + a(y, x) + a(y, y)) (a(x, x) a(x, y) a(y, x) + a(y, y))= 2 (a(x, y) + a(y, x))，將i y代替上式中的y，有q(x + i y) q(x i y) = 2 (a(x, i y) + a(i y, x))= 2 (i a(x, y) + i a( y, x))，將上式兩邊乘以i，得到i q(x + i y) i q(x i y) = 2 ( a(x, y) a( y, x))，將它與第一式相加即可得到極化恒等式．：若C[a, b]中范數(shù)|| [0, 1] K(x, y) u0(y) dy) dx．則(S u0)(x) = (242。 m e = e．故S(B)是等度連續(xù)的．所以，S(B)是列緊集．根據(jù)Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理，S在C上有不動(dòng)點(diǎn)u0．令l = (242。[0, 1] | K(t1, y) K(t2, y) | 163。 (1/m)
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