張恭慶祝泛函分析上冊(cè)答案-展示頁
2025-07-03 02:52本頁面
【正文】 [0, 1]，只要|| (x1, y1) (x2, y2) || d，就有| K(x1, y1) K(x2, y2) | m e．故只要| t1 t2 | d 時(shí)，y206。[0, 1] | K(t1, y) K(t2, y) |由K(x, y)在[0, 1]180。 (1/m) [0, 1] (242。 242。[0, 1] (242。[0, 1] K(t1, y) u(y) dy 242。B，t1, t2206。[0, 1] (242。242。[0, 1] K(x, y) u(y) dy) dx )163。[0, 1] K(x, y) u(y) dy |/(242。[0, 1] K(x, y) u(y) dy) dx )|| = max x206。[0, 1] K(x, y) u(y) dy )/(242。[0, 1] K(x, y) u(y) dy) dx也在B上連續(xù)．所以，S在B上連續(xù)．下面證明S(B)列緊．首先，證明S(B)是一致有界集．u206。[0, 1] K(x, y) u(y) dy在B上連續(xù)．類似地，映射u 242。 M [0, 1] | 242。[0, 1] K(x, y) v(y) dy ||= || 242。B，|| 242。 0；即S u206。[0, 1] K(x, y) u(y) dy) dx )則242。[0, 1] K(x, y) u(y) dy)/(242。[0, 1] | 242。[0, 1] (242。[0, 1]180。[0, 1]180。[0, 1] u(x) dx = 1，u(x) 179。 n (Ax0)i，則有Ax0 = l x0．：設(shè)B = { u206。 1 163。 i 163。C．即f (x0) = x0，也就是(Ax0)/( 229。C．容易驗(yàn)證f : C 174。 i 163。C，設(shè)f (x) = (Ax)/( 229。 0 ( i = 1, 2, ..., n) }．則C是有界閉集，且是凸集，因此C是緊凸集．因?yàn)閤206。 i 163。Rn | 229。 cl(int(E))所以cl(int(E)) = cl(E)．：因?yàn)镃是緊集，所以C是閉集．因?yàn)镃是緊集，故C的任意子集都列緊．而T(C) 205。 || z y || + || y x || e/2 + e/2 = e．故x206。 N/(N + 1) 1，由(1)知z 206。 N+，使得|| Ny/(N + 1) y || e/2．令z = Ny/(N + 1)，則z206。 165。E，使得|| x y || e/2．因ny/(n + 1) 174。 cl(E)．下面證明相反的包含關(guān)系．若x206。 E．所以x206。 E．故z = ((a 1)w + y )/a 206。Bh (x)，令w = (a z y )/(a 1)，則|| w || = || (a z y )/(a 1) || = || a z y ||/(a 1) = || a z a x ||/(a 1) = a || z x ||/(a 1) ah/(a 1) = d．故w206。int(E)，故存在d 0，使得Bd (q) 205。) 若P(x) 1．則存在a 1，使得y = a x206。E．因此P(x) 163。 Bd (x) 205。 )，故存在N 206。 x ( n 174。int(E)，存在d 0，使得Bd (x) 205。 ：(1) (222。) 若x206。 E．注意到x + x/n 174。 165。 N+，使得x + x/N 206。 E．即x/( N/( 1 + N ) ) 206。 N/( 1 + N ) 1．(220。E．因q206。 E．令h = d (a 1)/a，z206。Bd (q) 205。 E，因此，Bh (x) 205。int(E)．(2) 因int(E) = E，故有cl(int(E)) 205。cl(E)，則e 0，存在y206。 y ( n 174。 )．故存在N 206。E，且P(z) 163。int(E)．而|| z x || 163。cl(int(E))，因此cl(E) 205。 C，故T(C)列緊．于是，由Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理，T在C上有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)．[Schauder定理：B*空間中閉凸集C上使T(C)列緊的連續(xù)自映射T必有不動(dòng)點(diǎn)]：設(shè)C = {x = (x1, x2, ..., xn)206。 1 163。 n xi = 1，xi 179。C，xi 不全為0，而aij 0，故Ax的各分量也非負(fù)但不全為零．x206。 1 163。 n (Ax)i )，則f (x)206。 C還是連續(xù)的．由Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理，存在f的不動(dòng)點(diǎn)x0206。 1 163。 n (Ax0)i ) = x0．令l = 229。 i 163。C[0, 1] | 242。 0 }，則B是C[0, 1]中閉凸集．設(shè)max (x, y)206。[0, 1] K(x, y) = M，min (x, y)206。[0, 1] K(x, y) = m，242。[0, 1] K(x, y) dy) dx = N，max x206。[0, 1] K(x, y) dy |= P．令(S u)(x) = (242。[0, 1] (242。[0, 1] (S u)(x) dx = 1，u(x) 179。B．因此S是從B到B內(nèi)的映射．u, v206。[0, 1] K(x, y) u(y) dy 242。[0, 1] K(x, y) (u(y) v(y)) dy || = max x206。[0, 1] K(x, y) (u(y) v(y)) dy |163。 || u v ||；因此
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