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張恭慶祝泛函分析上冊答案-在線瀏覽

2024-08-04 02:52本頁面
  

【正文】 映射u 242。[0, 1] (242。B,|| S u || = || (242。[0, 1] (242。[0, 1] | 242。[0, 1] (242。 (M [0, 1] u(y) dy |/(m 242。[0, 1] u(y) dy) dx ) = M/m,故S(B)是一致有界集.其次,證明S(B)等度連續(xù).u206。[0, 1],| (S u)(t1) (S u)(t2) | = | 242。[0, 1] K(t2, y) u(y) dy |/(242。[0, 1] K(x, y) u(y) dy) dx )163。[0, 1] | K(t1, y) K(t2, y) | u(y) dy /(m242。[0, 1] u(y) dy) dx )163。 max y206。[0, 1]上的一致連續(xù)性,e 0,存在d 0,使得(x1, y1), (x2, y2)206。[0, 1],都有| K(t1, y) K(t2, y) | m e.此時,| (S u)(t1) (S u)(t2) | 163。 max y206。 (1/m) [0, 1] (242。[0, 1] K(x, y) u0(y) dy)/l = (T u0)(x)/l.因此(T u0)(x)/l = u0(x),T u0 = l u0.顯然上述的l和u0滿足題目的要求. (極化恒等式)證明:x, y206。 ||是可由某內(nèi)積( )誘導(dǎo)出的,則范數(shù)|| ||是不滿足平行四邊形等式的,因此,不能引進(jìn)內(nèi)積( )使其適合上述關(guān)系.范數(shù)|| L2[0, T],若|| x || = 1,由CauchySchwarz不等式,有| 242。 (242。[0, T] ( x(t ))2 dt )= 242。[0, T] e 2t dt = (1 e 2T )/2.因此,該函數(shù)的函數(shù)值不超過M = ((1 e 2T )/2)1/2.前面的不等號成為等號的充要條件是存在l206。[0, T] (l e ( T t ))2 dt = 1.解出l = 177。((1 e 2T )/2) 1/2 N ^,則y206。 N,故y206。M ^.所以,N ^ 205。 E ^.f206。 O.這樣就證明了偶函數(shù)集E的正交補(bǔ)E ^是奇函數(shù)集O. 證明:首先直接驗證,c206。Z }是L2[c, c + 1]中的一個正交集.再將其標(biāo)準(zhǔn)化,得到一個規(guī)范正交集S1 = {jn(x) = dn e 2p i n x | n206。Z),并且只與n有關(guān),與c的選擇無關(guān).(1) 當(dāng)b – a =1時,根據(jù)實分析結(jié)論有S ^ = {q}.當(dāng)b – a 1時,若u206。S ^,我們將u延拓成[a, a + 1]上的函數(shù)v,使得v(x) = 0 (x206。L2[a, a + 1].同時把S = {e 2p i n x | n206。S ^.根據(jù)前面的結(jié)論,v = q.因此,在L2[a, b]中就有u = q.故也有S ^ = {q};(2) 分成兩個區(qū)間[a, b – 1)和[b – 1, b]來看.在[a, b – 1)上取定非零函數(shù)u(x) = 1 ( x206。[a, b – 1) u(x)jn(x) dx.我們再把u看成是[b – 2, b – 1]上的函數(shù)(u在[b – 2, a)上去值為0).那么pn就是u在L2[b – 2, b – 1]上關(guān)于正交集S1 = {jn(x) | n206。n206。.再用RieszFischer定理,在L2[b – 1, b]中,229。Z pn jn收斂.并且,若令v = 229。Z pn jn,則(v, jn)= pn ( n206。 C為:f(x) = u(x) (當(dāng)x206。[b – 1, b]).則f 206。 q,但( f, jn) = 242。[b – 1, b] f(x)jn(x) dx= 242。[b – 1, b] v(x)jn(x) dx= pn pn = 0,因此,f 206。 {q}.:( zn/(2p)1/2, zn/(2p)1/2 ) = (1/i)242。 (z*)n/(2p)1/2 )/z dz= (1/(2pi))242。 (z*)n/z dz = (1/(2pi))242。 0,從zn m 1而解析.( zn/(2p)1/2, zm/(2p)1/2 ) = (1/i)242。 (z*)m/(2p)1/2 )/z dz= (1/(2pi))242。 (z*)m/z dz = (1/(2pi))242。 0是正交規(guī)范集.:容易驗證{en}199。{ fn}是X的基.x206。 X0,z206。 n206。 n206。 X0^,故(x, en) = ( y + z, en) = ( y, en) + ( z, en) = ( y, en).因y206。 n206。 n206。 n206。 n206。{ fn}是X的正交規(guī)范基.:首先,令j k (z) = (( k +1 )/p)1/2 z k ( k 179。 0是H 2(D)中的正交規(guī)范基.那么,u(z)206。 k 179。N,有(u, j k) = 242。 j k(z)* dxdy = 242。 j 179。 j k(z)* dxdy= 229。 0 a j (p/( j +1 ))1/2242。 j k(z)* dxdy= 229。 0 a j (p/( j +1 ))1/2242。 j k(z)* dxdy= 229。 0 a j (p/( j +1 ))1/2 (j j, j k)= a k (p/( k +1 ))1/2.即u(z)的關(guān)于正交規(guī)范基{ j k }k 179。 0 ).(1) 如果u(z)的Taylor展開式是u(z) = 229。 0 b k z k,則u(z)的Fourier系數(shù)為b k (p/( k +1 ))1/2 ( k 179。 k 179。 || u || +165。 k 179
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