張恭慶祝泛函分析上冊答案-在線瀏覽
2024-08-04 02:52本頁面
【正文】 映射u 242。[0, 1] (242。B，|| S u || = || (242。[0, 1] (242。[0, 1] | 242。[0, 1] (242。 (M [0, 1] u(y) dy |/(m 242。[0, 1] u(y) dy) dx ) = M/m，故S(B)是一致有界集．其次，證明S(B)等度連續(xù)．u206。[0, 1]，| (S u)(t1) (S u)(t2) | = | 242。[0, 1] K(t2, y) u(y) dy |/(242。[0, 1] K(x, y) u(y) dy) dx )163。[0, 1] | K(t1, y) K(t2, y) | u(y) dy /(m242。[0, 1] u(y) dy) dx )163。 max y206。[0, 1]上的一致連續(xù)性，e 0，存在d 0，使得(x1, y1), (x2, y2)206。[0, 1]，都有| K(t1, y) K(t2, y) | m e．此時(shí)，| (S u)(t1) (S u)(t2) | 163。 max y206。 (1/m) [0, 1] (242。[0, 1] K(x, y) u0(y) dy)/l = (T u0)(x)/l．因此(T u0)(x)/l = u0(x)，T u0 = l u0．顯然上述的l和u0滿足題目的要求． (極化恒等式)證明：x, y206。 ||是可由某內(nèi)積( )誘導(dǎo)出的，則范數(shù)|| ||是不滿足平行四邊形等式的，因此，不能引進(jìn)內(nèi)積( )使其適合上述關(guān)系．范數(shù)|| L2[0, T]，若|| x || = 1，由CauchySchwarz不等式，有| 242。 (242。[0, T] ( x(t ))2 dt )= 242。[0, T] e 2t dt = (1 e 2T )/2．因此，該函數(shù)的函數(shù)值不超過M = ((1 e 2T )/2)1/2．前面的不等號成為等號的充要條件是存在l206。[0, T] (l e ( T t ))2 dt = 1．解出l = 177。((1 e 2T )/2) 1/2 N ^，則y206。 N，故y206。M ^．所以，N ^ 205。 E ^．f206。 O．這樣就證明了偶函數(shù)集E的正交補(bǔ)E ^是奇函數(shù)集O． 證明：首先直接驗(yàn)證，c206。Z }是L2[c, c + 1]中的一個(gè)正交集．再將其標(biāo)準(zhǔn)化，得到一個(gè)規(guī)范正交集S1 = {jn(x) = dn e 2p i n x | n206。Z)，并且只與n有關(guān)，與c的選擇無關(guān)．(1) 當(dāng)b – a =1時(shí)，根據(jù)實(shí)分析結(jié)論有S ^ = {q}．當(dāng)b – a 1時(shí)，若u206。S ^，我們將u延拓成[a, a + 1]上的函數(shù)v，使得v(x) = 0 (x206。L2[a, a + 1]．同時(shí)把S = {e 2p i n x | n206。S ^．根據(jù)前面的結(jié)論，v = q．因此，在L2[a, b]中就有u = q．故也有S ^ = {q}；(2) 分成兩個(gè)區(qū)間[a, b – 1)和[b – 1, b]來看．在[a, b – 1)上取定非零函數(shù)u(x) = 1 ( x206。[a, b – 1) u(x)jn(x) dx．我們再把u看成是[b – 2, b – 1]上的函數(shù)(u在[b – 2, a)上去值為0)．那么pn就是u在L2[b – 2, b – 1]上關(guān)于正交集S1 = {jn(x) | n206。n206。．再用RieszFischer定理，在L2[b – 1, b]中，229。Z pn jn收斂．并且，若令v = 229。Z pn jn，則(v, jn)= pn ( n206。 C為：f(x) = u(x) (當(dāng)x206。[b – 1, b])．則f 206。 q，但( f, jn) = 242。[b – 1, b] f(x)jn(x) dx= 242。[b – 1, b] v(x)jn(x) dx= pn pn = 0，因此，f 206。 {q}．：( zn/(2p)1/2, zn/(2p)1/2 ) = (1/i)242。 (z*)n/(2p)1/2 )/z dz= (1/(2pi))242。 (z*)n/z dz = (1/(2pi))242。 0，從zn m 1而解析．( zn/(2p)1/2, zm/(2p)1/2 ) = (1/i)242。 (z*)m/(2p)1/2 )/z dz= (1/(2pi))242。 (z*)m/z dz = (1/(2pi))242。 0是正交規(guī)范集．：容易驗(yàn)證{en}199。{ fn}是X的基．x206。 X0，z206。 n206。 n206。 X0^，故(x, en) = ( y + z, en) = ( y, en) + ( z, en) = ( y, en)．因y206。 n206。 n206。 n206。 n206。{ fn}是X的正交規(guī)范基．：首先，令j k (z) = (( k +1 )/p)1/2 z k ( k 179。 0是H 2(D)中的正交規(guī)范基．那么，u(z)206。 k 179。N，有(u, j k) = 242。 j k(z)* dxdy = 242。 j 179。 j k(z)* dxdy= 229。 0 a j (p/( j +1 ))1/2242。 j k(z)* dxdy= 229。 0 a j (p/( j +1 ))1/2242。 j k(z)* dxdy= 229。 0 a j (p/( j +1 ))1/2 (j j, j k)= a k (p/( k +1 ))1/2．即u(z)的關(guān)于正交規(guī)范基{ j k }k 179。 0 )．(1) 如果u(z)的Taylor展開式是u(z) = 229。 0 b k z k，則u(z)的Fourier系數(shù)為b k (p/( k +1 ))1/2 ( k 179。 k 179。 || u || +165。 k 179
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