【正文】 cessary,it is to grasp and study help beginners. Keywords:linear normed space。continuous linear functional。在更廣泛的空間類 賦準 P 范數(shù)空間中，推廣了上述的結(jié)果；李曉愛在《線性賦范空間上泛函列的一致連續(xù)性定理 》定義了在線性賦范空間 X 上泛函序列 ??nf 強一致連續(xù)，弱一致連續(xù)和一致收斂的概念，得出了泛函序列 ??nf 強一致連續(xù)必弱一致連續(xù)；并證明了定義在線性賦范空間 X 上的泛函序列 ??nf 弱一致連續(xù)且又是一致收斂序 列時，在 X 上必強一致連續(xù)；定義在線性賦范空間 X 的有界子集 D 上的強一致連續(xù)泛函序列 ??nf ，若滿足 ? ????? nffn 0 ，則序列是一致收斂的。 本文主要探討了 線性賦范空間泛函有界性的一些性質(zhì)以及泛函有界性在相關(guān)泛函理論方面的推導(dǎo)，全文共分為四個部分。 2 線性賦范空間 在距離空間中我們引入了點列的極限，點列的極限是微積分中數(shù)列極限 在抽象空間中的推廣，但是只有距離結(jié)構(gòu)沒有代數(shù)結(jié)構(gòu)的空間在應(yīng)用時受到許多的限制。這些空間中的元素不僅可以定義距離還可以定義某些代數(shù)運算，本部分主要介紹線性賦范空間，它較距 2 離空間有明顯的優(yōu)越性。通常稱定義中的條件（ 1）、（ 2）、（ 3）為范數(shù)公理。 例 1 : ? ? p1 2 n ii = 1x x = x x x xpl???? ??? ??? ? ? ??????，是線性賦范空間。 定義 11ppiixx????? ????? 滿足范數(shù)公理。 例 2： ?,Cab?? 在通常加法，數(shù)乘意義下構(gòu)成線性空間，在 ?,Cab?? 上定義范數(shù)? ? ?,maxt a bx x t????可以驗證其滿足范數(shù)公理（ 1）、 （ 2）、（ 3），故 ?,Cab?? 是線性賦范空間。對通常的加法、數(shù)乘 3 ?? ?,1pL a b p? ?? 構(gòu)成線性空間，在 ?? ?,1pL a b p? ?? 中定義范數(shù) : ? ?? ? 1b ppax x t dt? ?容易驗證 x 是范數(shù)，故 ?? ?,1pL a b p? ?? 是線性賦范空間。如果 X 是線性賦范空間， ??nx 是 X中的點列 ， ,xX? 若 lim 0nn xx?? ??就稱 ??nx 依范數(shù)收斂于 x。 ??2 線性運算的連續(xù)性： 如果 ? ?,nnx x y y n? ? ? ? 則 ? ?,.n n nx y x y x x n??? ? ? ? ? ?其中 ? 為常數(shù)。 證明： ??1 因為： = x ,n n nx x x x x x? ? ? ? ?? ?0,nx x n? ? ? ?取 1?? 由? ?0 n ,nxx? ? ? ?故 ,N? 當(dāng) nN? 時有 1nxx??，所以 ： 當(dāng) nN? 時有1nxx??取 ? ?12m a x , , , , 1 ,NM x x x x??對每個 n,有 ? ?,nnd x x M? ??即 ? ?nx 有界。 線性有界泛函 命題 線性泛函：如果 X 是實數(shù)（或復(fù)）數(shù)域 K 上的賦范空間， D 是 X 上 的線性子空間， :D K,f ? 若 f 滿足 ： , K , x, y D ,??? ? ? 有 ? ? ? ? ? ? .f x y f x f y? ? ? ?? ? ? 那么就 稱 f 是 D 上的一個線性泛函，稱 D 為 f 的定義域， ? ? ? ?? ?f D f x x D??為 f 的值域。 命題 線性有界： 如果 ? ? 1:f D X R??是線性泛函，若存在 0M? ，對任 何 xD? ，有 ? ?f x M x? ，那么稱 f 是 D 上的線性有界泛函。 解： ? ?f x x? 在 1R 上是無界函數(shù)，但 是 作為 1R 到 1R 的線性泛函都是線性有界泛函。 例 2：求實 n 維歐氏空間 nR 上的線性有界泛函。 證明 ??1 f ： 1nRR? 泛函 ??2 ? ? ? ?1, , x , y ,nni i iiK R f x y x y a? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?11 .nni i i iiia x a y f x f y? ? ? ???? ? ? ??? 線性泛函 ??3 ? ? 1122221 1 1 1n n n ni i i i i ii i i if x a x a x a x? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?（ Holder 不等式） ax? 取 : ,Ma? ,nx R M a? ? ? ?使 ? ? .f x M x? 線性有界泛函 由 ??1 、 ??2 、 ??3 可知： ??fx是 nR 上的線性有界泛函。 ? ?不全為零， ?? 證明： ? ?baCyxknm , ???? ??1 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?dttytyndttytxmdttytnymxnymxf bababa 000 ??? ????? ? ? ? ?.ynfxmf ?? 所以 ??xf 是線性的。 ??2 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?bnybmxanyamxnymxg ????? ?? ? ? ? ?? ?bxaxm ?? ?? ? ? ? ? ?? ?byayn ?? ? ? ? ? ?yngxmg ?? .所以 ??xg 是有界的。 例 4：證明通過 ? ? ? ? ? ? ???? lxxnxxf jn ,固定 ,定義 ?l 上為線性泛函，問： ??xf 是 有界的嗎？ 證明： ??1 1: Rlf ?? 是泛函； ??2 , ????? lyxk?? 則 ? ? nn yxyxf ???? ??? ? ? ? ?.yfxf ?? ?? 所以 ??xf 是線性的。 命題 線性連續(xù)： 如果 ? ? 1:f D X R??（或復(fù)數(shù)域 C）是線性泛 函且 ??fx在 D 上連續(xù)，那么就稱 ??fx是 D 上的線性連續(xù)泛函。 證明：必要性： ??fx在 D 上連續(xù)，顯然有： ??fx在 0xD? 連續(xù)。 （特別提醒：線性泛函 ??fx在 x =0 連續(xù)，那么就有： ??fx在 D 上連續(xù)。 證明：必要性：用反證法，假設(shè) ??fx在 D 上無界， 0, ,nn x D? ? ? ? 使 ? ? .nnf x n x? 令 nnnxx nx? 那么 1 0nx n??? ?n?? .而 ? ? ? ?nnnfxfx nx? 7 ? ?11 1nnnnf x n xn x n x? ? ?這與 ??fx在點連續(xù) 相 矛盾，所以 有 ??fx在 D 上有界。 例 1： ,xX?? 定義 ? ? 0x? ? ，則 ? 是 X 上的線性連續(xù)泛函，稱為零泛函。 又 由于 ??fx ? ? ? ? ? ? ? ?m a x .b b ba a aa t bx t d t x t d t x t d t b a x??? ? ? ? ?? ? ?所以 ??fx是 ?,Cab?? 上的線性有界泛函（或線性連續(xù)泛函）。請問 反之如何 ? 證明：如果 T 有界，那么 T 連續(xù)，則 ? ?? ???? TNx0 , ? ?TNxn?? ,使 0xxn? ,所以有： .0lim0 ?? ?? nn TxTx即 ? ?TNx ?0 .所以： ? ? ? ?XxTxxTN ??? ,0是閉集。例如：取 ? ?baCX ,?? , ? ?baCY ,? , ??txTx ?? ,則 YXT ?: 連續(xù)，若 0?Tx , 則 ?? ctx ? , ? ? ? ?? ?1RctxxTN ??? 是閉集，但 T 是無界算子。證明： 如果 TTn? ,則對任何給定閉球中的一切 x ,存在 N ,當(dāng) Nn? 時有 ???TxxTn . 證明：設(shè) M 是給定的閉球并置于球 ? ?RxxB ?? 之中，由于 TTn? ,那么對于 0?? ，存在 N , 當(dāng) Nn? 時有 RTTn ???, 所以 Bx?? 有：?? ????? RRxTTTxxT nn .即命題得證。 結(jié)論： ??1 當(dāng) ,fX?? xX? 時 ， 有 ： ? ?f x f x? 。 ??2 如果 ??fx是線性有界泛函， 那么 ??fx的范數(shù)有如下的等價形式：‖f ‖ ? ?1supx fx??或 ? ?1supxf f x?? 證明： ? ?su p su pxxfx xffxx???????? ???? ? ? ? ? ? ?1 1 1 1s u p s u p s u p s u py y y yf y f y f y f y f? ? ? ?? ? ? ? ?。 證明：設(shè) ??nf 是 X? 的 基本列，要證 ??nf 收斂于 f? X? ，由基本列的定義 可知 ， 9 0, ,N?? ? ? 當(dāng) ,mn N? 時 ， 有 mnff???，于是 ,xX?? 有 ? ?