【正文】 慮時的情形, 對于, 可將表示為如下形式: ,再由平行四邊形法則。進而取, 有, 因此. 又(***)中取可得, 取可得. 因此對于所有的有理數(shù), 均成立.利用的連續(xù)性, 可知對所有的實數(shù)也成立. )因此得到.至于時的情形, 注意到由(f) .由此也容易得到, 對于. (iv) 當時, 容易知道。(3) 若的展開式是, 則.證：先給出一個預備性結果: 對于，因為是解析函數(shù), 因此可以展開為冪級數(shù): .由此可以斷言： （*）事實上，因為是解析函數(shù),冪級數(shù)在中內閉一致收斂, 即對于的任意閉子集, 在上一致收斂. 對于, 以下取閉子集為. 容易知道是中的閉子集. 對于每一個, 注意到級數(shù)在中仍舊一致收斂, 以下的積分號和求和號可以交換順序: 因此（*）式得證. (1) 首先證明是正交集. 事實上, 對于復數(shù),根據(jù)所給的定義因此是正交集. 因為是完備的空間, 故只需再證是完備的即可得知其也是正交基. 設有且. 因為是解析函數(shù), 因此可以展開為冪級數(shù): .根據(jù)（*）式，可以得到，對于每一個, 由此即得, (). 所以. 即是完備的, 因此是中的正交基. (2) 既然是基,由Parseval等式可以得到.利用（*）式，上式的左端可以表示為: 由此可得所預期的結論. (3) 對于和, 有和，利用內積的連續(xù)性和（*）式，18．設是內積空間,是中的正交集, 求證: , ().證： 對于任意的正整數(shù), 由Cauchy不等式和Bessel不等式可以得到,由的任意性, 知正項級數(shù)收斂, 因此級數(shù)絕對收斂,并且.19．試證構成的正交基, 但不是的正交基.證：(1) 首先證明是中的正交集. 事實上, 因此是中的正交集. 同理, 也容易證明還是中的正交集.(2) 因為是完備的空間, 故只需再證是完備的即可得知其也是正交基. 設有且. 將做奇延拓成為: 則. 注意到對于, 利用, .設,對于,利用是奇函數(shù), 可得.因此.進而也容易得到.又已經(jīng)知道與僅相差一個常數(shù)因子的三角函數(shù)系是中的正交基, 因此, . , 即有, . .因此是中的正交基.(3) 注意到在中不是完備的, 例如對于恒等于常數(shù)1的函數(shù)是非零元, 但對于, .因此, 雖然是的正交集, 但不是正交基.24． 試給出中列緊集的判別條件.證：設子集且是中一個數(shù). 記及.則是中的列緊集的充分必要條件是(i) 在中有界。 (iii) 是中等度連續(xù)的集合.[充分性] 設滿足條件(i), (ii)和(iii). 根據(jù)中范數(shù)的定義: 對于,容易看出, 且因此只需證明和分別是中的列緊集即可, 根據(jù)ArzelaAscoli定理, 這也只需證明和分別在中有界且等度連續(xù)即可. 事實上, 在中有界性和等度連續(xù)已由所給條件得到保證(即(i)和(iii)). 還需證明在中的有界性和等度連續(xù)性. 記在中的一個界為,作為中的有界集, , 利用中值定理, 有此即表明, 所以在中有界,且界為. 進而對于由此易知具有等度連續(xù)性.[必要性] 設是中的列緊集, 即對于的任何點列, 在中的范數(shù)(距離)意義下都有收斂的子列. 因此, 和分別在中有收斂的子列的和. 這表明, 根據(jù)Arzela Ascoli定理, 和均是中的列緊集, 因此和均在中有界且等度連續(xù), 因此得到(i)和(iii). 由的有界性, 可以知道集合對于任意的都是中的有界集, 因此得到(ii).26． 設是緊距離空間，映射滿足. ()則(1) 是否有唯一的不動點?(2) 是否為壓縮映射?解答: (1) 存在唯一的不動點, 證明如下:(存在性) 定義映射為.由所給條件知此映射是連續(xù)的, 而是緊空間表明此映射能在中取得上下確界. 因此存在, 使得 .斷言，則是的不動點：. 若不然, , 則在所給的條件中取有,此與達到的下確界相矛盾. (唯一性) 若還有使得但. 仍由所給的條件, 有.這是個矛盾. 故必有.(2) 可以不是壓縮映射. 反例如下: [反例1] 記, 其中距離定義為兩點之間的Euclid距離: , . 因為是的閉子集, 因此是完備的, 顯然也是緊的. 定義映射為: 對于, . 顯然是自映射, 且有唯一的不動點0. 對于任意的, 設, 則中至少有一個不為零, 由此容易得到. 所以滿足所需的條件, 但不是壓縮映射, 因為. 因此不存在常數(shù), 使得對于所有的, . [反例2] 記, 其中距離定義為兩點之間的Euclid距離: , . 因為是的閉子集, 因此是完備的, 顯然也是緊的. 定義映射為: 對于, 顯然是自映射, 且有唯一的不動點0. 對于任意的, 設, 如果, 則有正整數(shù), , 使得 , 且。 (ii) 問當還是中的閉集時, 是不是緊集?證：(i) 因為, 不難得知 . 根據(jù)ArzelaAscoli定理, 只需再證明在中有界且等度連續(xù)即可. (a) 在中有界, 即作為由連續(xù)函數(shù)組成的集合是一致有界的. 事實上, 如果記的一個界為, 在上的最大值為, 則對于任意取定的, 有某個, 使得, 由此得知.因此是中有界集, 且的一個界為. (b) 在中等度連續(xù). 對于,有某個, 使得. 因為, 因此在上一致連續(xù), 故對于任意的,存在, 當且時, 有 (),由此可以得到 .由此易知具有等度連續(xù)性.(ii) 當還是中的閉集時, 未必是緊集! 反例可以構造如下: 考慮中的集合,顯然是中的有界集, , 因為對于任意的, 不妨設, 則,對于任意固定的, 當趨于無窮大時, 右端項趨向于1, 由此容易知道, 作為中的子點列, 集合不是Cauchy列, 因此不可能在中有收斂的子列, 故集合沒有聚點, 因此是中的閉集. 定義,顯然. 對于上述的集合, 不難計算顯然， 是中列緊集，唯一的聚點是零函數(shù)，但零函數(shù)不在中，因此不是閉集. 補充題. 設是中的一個有界集, 記.證明是中的列緊集.證：根據(jù)ArzelaAscoli定理, 需證明在中有界且等度連續(xù)即可. (i) 在中有界, 即作為由函數(shù)組成的集合是一致有界的. 事實上, 如果記的界為,則對于任意取定的, 有某個, 使得, 由此得知.因此是中有界集, 且的界為. (ii) 在中等度連續(xù). 對于,有某個, 使得. 對于 .由此易知具有等度連續(xù)性.補充題．證明課本20頁定理8: 對于距離空間中的任何集合, 與均是閉集. 證：(i) 根據(jù)閉集的定義, 僅需證明.事實上, 設, 則對于任意的.設, 根據(jù)極限點的定義, 對于,有. 又, 因此有.注意到的任意性, 即可得到. 因此是閉集.(ii) 需證明的是. 因為, 又, (*)故由(i)中已經(jīng)證明了的結果, 有, 因此是閉集. 如下證明(*): 設, 則, 且 . 由前者知存在某個, 使得。 而映射和的復合映射對應于矩陣的乘法運算=)6．定義上算子分別為試證是上的有界線性算子,但與不可交換, 即.證： 容易證明算子都有意義, 且是線性的. 對于任意的, 由的定義因此是有界的且.由的定義因此是有界的且.注意到 因此顯然如果我們取, 則注: 是乘法算子, 而是以為核的積分算子.7．設，定義上的算子為試證有界線性算子,并求的范數(shù).證：因為, 其范數(shù)定義中的下確界可以達到, 即存在零測集, 使得.(i) 算子有意義. 這也只需證明對于, 即可. 事實上, 容易得知是可測函數(shù), 且由此得知. (ii) 是線性的. 事實上，對于以及任意的數(shù)和， 所以是線性算子. (iii) 對于任意的, 由的定義因此是有界的且.反之, 我們要證明. 不失一般性, 可假設. 因為范數(shù)中的下確界可以達到, 不妨設有零測集, 使得.對于任意的, 由上確界的定義,存在正測度的子集,使得, .(若不然, 使得的點所組成的集合是零測集, 在上恒有,此與的定義相矛盾). 定義則且.根據(jù)算子范數(shù)的性質, 我們可以得到鑒于的任意性, 我們最終得到.8．定義上的算子為.試證有左逆, 但無右逆.證： (i) 的左逆算子是左位移算子: .