應(yīng)用泛函分析教案2-在線瀏覽
2025-06-03 22:48本頁面
【正文】 證明 設(shè)是中的柯西點列，其中=.0, ，都有 = (1)因此對每個固定的，當(dāng)時，成立 (2)于是，是柯西數(shù)列. 由于實數(shù)集或復(fù)數(shù)集按差的絕對值定義距離是完備的，故存在實或復(fù)數(shù)，. ()令=，往證且. 在(2)中，令，得時，成立 (3)因為=，所以0，. ，成立(不同的數(shù)列，界可能不一樣). 所以 +. 所以. 由(3)知，時，成立. 所以. 所以是完備度量空間. 例2 令表示所有收斂的實或復(fù)數(shù)列的全體，=， =，令 =. 則 0且=時，=0. 又==0 =(). 于是=0 =. =，則由于對，成立 ++=+. 所以+. 即+. 所以可定義為中兩點間的距離. 于是按距離成為度量空間(實際上是的一個子空間). 欲證是完備度量空間，先證 Th 1 完備度量空間的子空間是完備度量空間 是中的閉子空間. 證明 設(shè)是完備子空間，對每個，中點列，使. 所以是中柯西點列. 所以它在中收斂. 由極限的唯一性，所以. 所以. 即是中的閉子空間. 反之，若是中柯西點列，因是完備度量空間，則在中收斂. 即，. .因為是中的閉子空間，所以，所以在中收斂. 于是是完備度量空間. 例2的證明 由Th 1 只證是中的閉子空間即可. =(要證，從而)，=()，. . 所以0，成立 =.特別取，則對，成立 .因為,所以當(dāng)時，收斂. 故，. ,時，成立 . 所以,時，成立 ++++=.所以是柯西數(shù)列，因而收斂. 所以=. 所以是中的閉子空間. 由Th 1，是完備度量空間. 證畢. 作業(yè)： 206. 14. 15中的. 作業(yè)題解： 14 =1，有1, 特別當(dāng)時，有1. 又時，只有有限個值故0,. . 因此，成立 +. 所以是有界點列. 15設(shè)是中的柯西點列，=. 即0,， ，成立 = ()所以，時，成立 . 因為給0， 對于每個固定的，：0，然后由這個，按不等式()，. 所以時，對這個固定的，成立. 所以 (). 所以是實(復(fù))數(shù)集中的柯西點列. 而實(復(fù))數(shù)集完備, 所以收斂，設(shè)(). 記=，則. 而，所以完備. 設(shè)是中的柯西點列，=，.0，成立. 所以及，成立 . ()因此在集上，函數(shù)列收斂，設(shè). 由()式，令得時，. 所以時，++(由于收斂，從而存在). 所以，又已證所以是完備度量空間. 柯西點列和完備度量空間(續(xù)) 教學(xué)內(nèi)容(或課題)： 目的要求： 再次鞏固上次課學(xué)習(xí)的概念與定理，進一步掌握使用概念及定理判別完備度量空間的常用方法. 教學(xué)過程： 是完備的度量空間. 證明 設(shè) ，
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