應(yīng)用泛函分析教案2-展示頁
2025-04-25 22:48本頁面
【正文】 先指出(2)式右端極限存在. 實因由三點不等式++，所以 +.同理 +.所以 ||+. (3)因為和是中的柯西點列，所以是中柯西數(shù)列,所以(2)式在端極限存在. 其次指出：若=，=，則=，即(,)與用來表示,具體柯西點列，無關(guān). 實因仿(3)式之證法，得 ||+.由 =0和=0， 可得 =. 最后證明 滿足關(guān)于距離條件及： 顯然 =0. 又=0 =0 =. =，=，=， 則 ，故，即 . 所以按成度量空間. (2)作的稠密子空間及到的等距映照 ，令=，其中=，顯然. 令=，=. 因為 ==，所以是到上的等距映照. 在與等距同構(gòu)之下往證是中的稠密子集. =, 令=，其中=，則. 因=是中的柯西點列，故0，. 時，有 . 于是=. 即在 中必有中的點， 故在中稠密. (3)證明是完備的度量空間 設(shè)是中的柯西點列，因為在中稠密，所以對每個，. . (4)所以 ，所以是中柯西點列. 因為是到上的等距映照，所以是中柯西點列. 令=，則. 由(4)式，有 =0 ().所以 =0，所以是完備度量空間. (4) 證明的唯一性 設(shè)是另一個完備度量空間，且與中稠密子集等距同構(gòu). 作到上映照如下： 對，由于在中稠密，中點列，..但由于與等距同構(gòu)，也與等距同構(gòu)，從而與也等距同構(gòu). 設(shè)為到上等距同構(gòu)映照，由知是中柯西點列，由完備性，.. 令=. 首先，這樣定義的與無關(guān)， 即若另有，則 =. 實因 ====0. 所以=. 下證是到上的等距同構(gòu)映照, 對，由于是的稠密子集，所以存在中點列，.. 同前證明可知為中的柯西點對，有，.. 易知=，即映照到上. 又對，有中點列和， . ，. 所以 ===，所以是一個等距同構(gòu)映照. 所以與等距同構(gòu). 證畢. 若將彼此等距同構(gòu)的度量空間視為同一空間，則有 Th 設(shè)=是度量空間，那么存在唯一的完備度量空間=使為的稠密子空間. 作業(yè)：. 作業(yè)提示： 作到內(nèi)的映照：，其中=。 167。4 柯西點列和完備度量空間教學(xué)內(nèi)容(或課題)： 目的要求： 掌握柯西點列、完備度量空間的概念，學(xué)會使用概念和完備度量空間的充要條件判別完備度量空間. 教學(xué)過程： 設(shè)是中的點列，若0，有=，則稱是中的柯西點列. Def 1 設(shè)=(，)是度量空間，是中的點列. 若0,，有，則稱是中的柯西點列或基本點列. 若度量空間(，)中每個柯西點列都收斂，則稱(，)是完備的度量空間. 有理數(shù)的全體按絕對值距離構(gòu)成的空間不完備，如點列1, , 1,41, 在中收斂于，在有理數(shù)集中不收斂. 但度量空間中每一個收斂點列都是柯西點列. 實因若，則0, ，有++. 所以是柯西點列.例2 (表有界實或復(fù)數(shù)列全體)是完備度量空間.
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