【正文】 代控制論等學(xué)科都有重要應(yīng)用的基本結(jié)果。并且在最佳逼近元存在時也不一定惟一?！径x 】 設(shè)是度量空間，是中非空子集，則稱為到集的距離，使，則稱為在中最佳逼近元。因為若及都是在上的投影，則由定義有，于是，故.對于，任向量在軸（即子空間）（特別是無限維）內(nèi)積空間中表現(xiàn)是個需要探討的問題。注：一般情況，某個元素在的某個空間上不一定存在投影。 直交投影及變分引理仿照中向量在坐標軸上投影的概念引入以下定義。證畢。現(xiàn)在證明是閉集。（8） 對任，則是的閉子空間。由以上定義，可得如下簡明事實（性質(zhì)）：（1） 零元素與中每個元素直交。6. 設(shè)是維線性空間的一組基，對于，有惟一表示，其中，求證是上一個內(nèi)積的充要條件是存在正定矩陣，成立 內(nèi)積空間中元素的直交與直交分解 直交及其性質(zhì)仿照中兩個向量的直交概念，我們有如下定義。習(xí)題 1. 證明：Schwarz不等式中等號成立與線性相關(guān)。這只要取，及，則，且，明顯不滿足中線公式。因為，取，則，且，顯然不滿足中線公式。因此，內(nèi)積空間是一類特殊的賦范線性空間。另外，可以證明中線公式是內(nèi)積空間中由內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù)的特征性質(zhì)，即當(dāng)為賦范線性空間時，若對其中任何元素與關(guān)于范數(shù)成立中線公式，則必在中可定義內(nèi)積，使范數(shù)可由此內(nèi)積導(dǎo)出。注：也常稱中線公式為平行四邊形公式。注：當(dāng)為實數(shù)內(nèi)積空間時，則極化恒等式為（3） 中線公式。對內(nèi)積空間中元素與，成立證明可直接運用范數(shù)的定義和內(nèi)積的性質(zhì)得到。證畢。（1） 內(nèi)積的連續(xù)性。設(shè)為列，則對每個，存在自然數(shù)，有對任有限區(qū)間，由不等式，有式中，為的長度。例 為有限或無窮區(qū)間，對任，定義內(nèi)積這里中的元素是實值或復(fù)值二次可積函數(shù)，也不難驗證是內(nèi)積空間。以下證明為Hilbert空間。例 表示（實或復(fù)）Euclid空間，對于，類似于幾何空間中向量的內(nèi)積定義，令不難驗證成為一個空間。特別當(dāng)內(nèi)積空間按由內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù)完備的，稱為Hilbert空間。注：常稱為內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù)，于是內(nèi)積空間按此范數(shù)成為一個賦范線性空間。證明：因范數(shù)的前兩條性質(zhì)可直接由內(nèi)積的性質(zhì)推出，我們僅驗證它滿足第三條性質(zhì)（即三角不等式）?，F(xiàn)在設(shè)，則，有取代入上式可得，由此可得證畢。今后討論中不加注明時，恒設(shè)為復(fù)內(nèi)積空間。由性質(zhì)（2）與性質(zhì)（4），內(nèi)積關(guān)于第二個變元也是線性的?！径x 】 設(shè)為數(shù)域上線性空間，若對任兩個元素（向量），有惟一中數(shù)與之對應(yīng)，記為，并且滿足如下性質(zhì)：（1）（2）（3）（4）則稱為與的內(nèi)積，有了內(nèi)積的線性空間叫做內(nèi)積空間，當(dāng)為實數(shù)域（或復(fù)數(shù)域），叫為實（或復(fù)）內(nèi)積空間。利用內(nèi)積我們可以討論如向量的直交及投影等重要幾何問題。 內(nèi)積空間的基本概念首先回憶幾何空間中向量內(nèi)積的概念。這對僅有模長概念的賦范線性空間是做不到的。第四章 內(nèi)積空間第四章 內(nèi)積空間在第三章中，我們把維空間中的向量的模長推廣到一般線性空間中去，得到了賦范線性空間的概念。但在中可以通過兩個向量的夾角討論向量與方向的問題。我們知道，中向量的夾角是通過向量的內(nèi)積描述的，因此在本章我們引入了一般的內(nèi)積空間的概念。設(shè)，設(shè)與夾角為，由解析幾何知識可得其中， ，令，稱為與的內(nèi)積，不難證明它有如下性質(zhì)：（1）（2）（3）（4）注：由定義可得，我們看到，兩個向量的夾角僅與向量的內(nèi)積有關(guān)。現(xiàn)在我們引入一般的內(nèi)積空間的概念。 注:由性質(zhì)（3）與性質(zhì)（4）知，內(nèi)積運算關(guān)于第一變元是線性的。而常稱為共軛齊次性，因此在為賦內(nèi)積空間時，內(nèi)積是共軛線性的?！疽?】（Schwaraz不等式） 設(shè)為內(nèi)積空間，對任意，成立不等式證明：若，則任，有，則顯然不等式成立?！径ɡ?】 設(shè)為內(nèi)積空間，對任，令，則是的范數(shù)。事實上。在此意義下，第二章關(guān)于賦范線性空間的有關(guān)內(nèi)容都適用于內(nèi)積空間。以下介紹幾個常用的Hilbert空間的例子。例 ，當(dāng)，時，令容易證明成為內(nèi)積空間。任取列，則對任當(dāng)時，有因而有故數(shù)列是列，因數(shù)域完備，則存在，使，令，則任，當(dāng)時，有則令，對每個及任，有因而，亦有，只要，所以，注意是線性空間，則，且，這即表明在中收斂，故為Hilbert空間?，F(xiàn)在證明是Hilbert空間。故級數(shù)收斂，于是由引理（見第一章）我們有 從而知是集上可積函數(shù)，則比在上為處處有限函數(shù)，即級數(shù)在上幾乎處處收斂，而為中任意有限區(qū)間，則級數(shù)在上幾乎處處收斂，因而級數(shù)在上幾乎處處收斂，亦即函數(shù)在上幾乎處處收斂于函數(shù).現(xiàn)在證明，且.對任意，因為中列，則存在，當(dāng)時，有，即令，利用第一章積分的性質(zhì)，得到即，且，故是Hilbert空間。設(shè)，則有證明：由不等式，得 因收斂有界。（2） 極化恒等式。留給讀者作為練習(xí)。對內(nèi)積空間中元素與，成立證明：證畢。因在平面中，平行四邊形的對角線長度的平方和等于四條邊的長度平方和。也就是一個賦范線性空間成為內(nèi)積空間的條件是其范數(shù)要滿足中線公式。例如，當(dāng)且時，不是內(nèi)積空間。又例如，按范數(shù)不是內(nèi)積空間。再例如，當(dāng)且時，也不是一個內(nèi)積空間。2. 設(shè)為實內(nèi)積空間，若，證明：.若，所證明事實有什么幾何意義？3. 設(shè)為內(nèi)積空間，若對任何，有，試證明.4. 設(shè)為Hilbert空間，求證的充要條件是，且.5. 驗證極化恒等式?！径x 】 設(shè)是內(nèi)積空間，若，稱與直交，若與每個元素直交時，則稱與直交，若，都有，則稱與直交，記,則稱為的直交補。（2） 若，則.（3） .（4） 若，