實(shí)變函數(shù)論與泛函分析曹廣福1到5章課后答案-展示頁
2025-07-01 17:17本頁面
【正文】 明： （i）是上可測函數(shù) （ii）對于任意實(shí)數(shù) ， 若，則還有 （iii）若，且，在上幾乎處處不等于0，則 （iv）. 證明：（i）因?yàn)?，是可測函數(shù)列，由定理，有一個子列，使得 .再由P62性質(zhì)4，是在可測，同理，在可測. （ii）先證：當(dāng)時，當(dāng)時，.所以. 當(dāng)時，因?yàn)?，?從而. 再證：.事實(shí)上，. . 所以：. （iii）現(xiàn)在證：. 先證：，必有. 事實(shí)上，若（對于某個）.因?yàn)?，而? 事實(shí)上，時，無窮個，使得.即是有界無窮點(diǎn)列，.因?yàn)?，這與得每個收斂子列都為零極限矛盾，從而，使得時，有子列使得. 另一方面：因?yàn)?，?，從而 .故這與， 最后證：. 事實(shí)上，. 習(xí)題14（iii）引理 例1，設(shè)，都是上的可測函數(shù)列且，如果，則. 證明：設(shè)，若，即使得即，有.特別的，當(dāng)時，有； 當(dāng)時，有； 當(dāng)時，有 這樣繼續(xù)下去，得的一子列使得，即是一個有界的無窮數(shù)列，有一收斂子列，. 另一方面，因?yàn)椋?，由定理，必有一子列使?.所以 .，這與矛盾. 例2，設(shè)，則 證：因?yàn)?，則當(dāng)且是有限函數(shù)時，對于，有 （i） （ii）對于 上的任意可測函數(shù)，有 證：先證：當(dāng)，有，對于，因?yàn)椋?所以故，從而. （i）, 當(dāng)時，由14題（iii）有. 假設(shè)，又因?yàn)椋?故，. (ii)因?yàn)?，所以?dāng)時，對任何可測函數(shù)，：.再由（i）的結(jié)論，.第四章習(xí)題參考解答 1．設(shè)是上的可積函數(shù)，如果對于上的任意可測子集，有，試證：， 證明：因?yàn)椋?由已知， . 又因?yàn)椋?所以，.故,從而.即，. ，都是上的非負(fù)可測函數(shù)，并且對任意常數(shù)，都有，試證：，從而，. 證明：我們證，是同一個簡單函數(shù)序列的極限函數(shù). 及，令，并且.則是互不相交的可測集，并且，定義簡單函數(shù). 下面證明：，. ,若，則，所以，即；若，則可取正整數(shù)，時,.故，存在，.即，.所以，從而，.同理，定義簡單函數(shù)列，其中：，..同上一樣可證明：，.因?yàn)椋?從而，有.即，.因此. ，計算. 解：設(shè)為有理數(shù)，則. ，若內(nèi)每一點(diǎn)至少屬于個集中的個集，證明：中至少有一個測度不小于. 證：令，其中為上的特征函數(shù)，有，所以.. 如果每個，使得. ，都是上的可積函數(shù)，試證明：也是上可積函數(shù). 證明：（1）先證：設(shè)與都是上的可測函數(shù)且 ，若在可積，則在可積. 事實(shí)上，因?yàn)?，故，即，其中：，.從而是單調(diào)遞增有上界的數(shù)列，故： . 又因?yàn)閱握{(diào)遞增有上界，所以存在，并且，即.所以在可積. （2）再證：在上可積. 事實(shí)上，因?yàn)椋谏峡煞e，所以與在上可積，從而+在上可積. 又因?yàn)?，由?）。20．證明中孤立點(diǎn)集是至多可數(shù)集證明：設(shè)F是點(diǎn)集E中一些孤立點(diǎn)所構(gòu)成的集合，有現(xiàn)在先證：是兩兩不相交的事實(shí)上，如果，則（不妨設(shè)），故,這與矛盾. 所以，是兩兩不相交的. ,取有理點(diǎn)，故，從而， 22．證明：中直線上每個閉集必是可數(shù)個開集的交，每個開集必是可數(shù)個閉集的并.證明：設(shè)F是中的一個閉集，先證：，=|是R中的開集，其中，則，取，故事實(shí)上，所以是開集現(xiàn)在證：、事實(shí)上，所以.反過來，. ,即.，從而. 再來證：每個開集必是可數(shù)個閉集的并. 事實(shí)上，若是開集，使得，的并. ，如果，證明是一個開區(qū)間 證明：，記， ，其中，因?yàn)?，所以可?現(xiàn)在我們證： 因?yàn)?，故反過來，即，當(dāng)時，因?yàn)椋裕? 如果，使，故，從而 ，是E的一個開覆蓋，證明：中必存在至多可數(shù)個，使得. 證明：不妨設(shè)中每一個元都是開區(qū)間.，存在，有，故有：端點(diǎn)的開區(qū)間，. 又因?yàn)閪=，又記.其中， 故 ：可數(shù)集，開區(qū)間列，覆蓋了它，這里，從此覆蓋中能否選出集的有限子覆蓋.答：不能，證明如下：證明：（反正）如果，使得（*），不妨設(shè)，因?yàn)椋瑒t.（*）不真. ，如果，有，則稱集合簇具有有限交性質(zhì). 證明：如果是具有有限交性質(zhì)的非空有界閉集簇，那么. 證明：取，令，其中，如果，則. 由Borel有限覆蓋定理（P27 定理9），存在，使得.從而，這與具有有限交性質(zhì)矛盾. ：Bolzano
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