泛函分析小論word版-展示頁
2025-01-16 16:48本頁面
【正文】 度量空間 167。學(xué)習(xí)中慢慢體味泛函分析的綜合性及專業(yè)性。 泛函分析論文 泛函分析在數(shù)學(xué)物理方程、概率論、計(jì)算數(shù)學(xué)等分科中都有應(yīng)用，是 20 世紀(jì)發(fā)展起來的一門新學(xué)科，其中泛函是函數(shù)概念的推廣，對比函數(shù)是數(shù)與數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系，我們發(fā)現(xiàn)泛函是函數(shù)和數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系。在學(xué)習(xí)泛函分析前，我們先確定學(xué)習(xí)目標(biāo)：理解和掌握“三大空間和三大定理”。 167。 定義： 若 X 是一個非空集合， :d X X R??是滿足下面條件的 實(shí)值函數(shù)，對于 ,x y X??，有 （ 1） ( , ) 0d x y ? 當(dāng)且僅當(dāng) xy? ； （ 2） ( , ) ( , )d x y d y x? ； （ 3） ( , ) ( , ) ( , )d x y d x z d y z??， 則稱 d 為 X 上的度量，稱 ( , )Xd為度 量空間。 167。 序列空間 S ， i=1 i| |1( , ) 2 1 +| |iii id x y?????? ?是度量空間 有界函數(shù)全體 ()BA ， ( , ) s u p | ( t) ( t) |tAd x y x y??是度量空間 連續(xù)函數(shù) [a,b]C ， ( , ) m a x | ( t) ( t) |a t bd x y x y???是度量空間 空間 2l ， 12 2=1( , ) [ ( ) ]kkid x y y x?? ?是度量空 間 167。 極限：類似數(shù)學(xué)分析定義極限，如果 ??nx 是 ( , )Xd中點(diǎn)列，如果? xX? ，使nlim ( , )=0nd x x??，則稱點(diǎn)列 ? ?nx 是 ( , )Xd中的收斂點(diǎn)列 ， x是點(diǎn)列 ??nx 的極限。 167。 即：??, , . ( )nnM E x E x M s t x x n? ? ? ? ? ? ? ?在 中 稠 密 對 167。 167。 ：設(shè) ( , ) , ( , ), 0 ,X ( , ) ( T ,T ) ,ooooX X d Y Y d T X YxXd x x x d x xTx??????? 是 兩 個 度 量 空 間 ， 是 到 中 映 射 ，如 果 對 于 任 意 給 定 的 正 數(shù) ， 存 在 正 數(shù) 使 對中 一 切 滿 足 的 ， 有 則 稱 在 連 續(xù) 。 證明映射連續(xù)性的方法 定義法 鄰域法：對 oTx 的每一個 ? — 鄰域 U,必有 ox 的某個 ? — 鄰域 V使 TV U? , 其中 TV 表示 V在映射 T作用下的像。 定理二（變式）：把“開集”改為“閉集”，定理二仍成立。 例題 例 設(shè) X,Y,Z 為三個度量空間， f 是 X 到 Y 中的連續(xù)映射， g 是 Y 到 Z的連續(xù)映射，證明復(fù)合映射 ( )( )= ( (x ))gf x g f是 X 到 Z 的連續(xù)映射。 【分析】此題就是利用定理二來證明的。 柯西點(diǎn)列和完備度量空間 167。 167。（即完備性關(guān)于閉子空間具有可遺傳性） 【注意】開子空間不完備。 度量空間的完備化 定理 1 （度量空間的完備化定理）：設(shè) ( , )X X d? 是度量空間，那么一定存在 一完備度量空間 ( , )X X d? ，使 X 與 X的某個稠密子空間 W等距同構(gòu)，并且 X在等距同構(gòu)意義下是唯一的，即若 ( , )Xd??也是一萬倍度量空間，且 X與X的某個稠密空間等距同構(gòu)，則 ( , )Xd??與 ( , )Xd等距同構(gòu)。） 定理 1可以通過圖形象表達(dá) 定理 39。
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