泛函分析小論word版(編輯修改稿)
2025-02-03 16:48 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 y M m M? ? ? ?，則方程 ( , ) 0f x y ? 在區(qū)間 [,]ab 上 必 有 唯 一 的 連 續(xù) 函 數(shù) ()yx?? 作為解：( , ( ) ) 0 , [ , ]f x x x a b? ?? 167。 線性空間 167。 定義： 設(shè) X 是一非空集合，在 X 中定義了元素的加法運算和實數(shù)（或復數(shù)）與 X 中元素的乘法運算，滿足下列條件：（一）關(guān)于加法： (1)交換律（ 2）結(jié)合律（ 3）有零元（ 4）有負元，（二）關(guān)于數(shù)乘：（ 1）分配律（ 2）結(jié)合律（ 3） xX??，均有 1xx? ，滿足這樣性質(zhì)的集合 X 稱為線性空間。 例： nR 按自身定義的加法和數(shù)乘成線性空間 [a,b]C 按自身定義的加法和數(shù)乘成線性空間 空間 ( 0)plp? 按自身定義的加法和數(shù)乘成線性空間 167。 2 賦范線性空間 167。 167。 定義：設(shè) X是實（或復）的線性空間，如果對 xX??，都有確定的一個實數(shù)，記為 x 與之對應，并且滿足： 1o 0x ? ，且 0x ? 等價于 0x? ；（非負性） 2o ||xx??? 其中 ? 為任意實（復）數(shù)； 3o ,x y x y x y X? ? ? ?，（三角不等式） 則稱 x 為向量 x 的范數(shù)，稱 X 按范數(shù) x 成為賦范線性空間。 注意： x 是 x 的連續(xù)函數(shù) || || 0 ( , ) 0nnx x d x x? ? ? ? （ 誘 導 距 離 ） 167。 ： 完備的賦范線性空間稱為巴拿赫空間 ? X 是賦范線性空間，且 ? ?nx 是柯西點列。 要判斷一個空間是否為巴拿赫空間，有三點： （ 1）是否為線性空間 （ 2）是否為賦范線性空間 （ 3）是否完備 任何有限維賦范線性空間都同維數(shù)歐氏空間拓撲同構(gòu)，相同維數(shù) 的有限維賦范線性空間彼此拓撲同構(gòu)。（即拓撲同構(gòu) ? 范數(shù)等價） 定理 1： [ , ]( 1)pL a b p ?按范數(shù) 1( | ( ) | )b p ppaf f t dt? ?成賦范線性空間。 定理 2： [ , ]( 1)pL a b p ?是巴拿赫空間。 例題： nR 按范數(shù) 221| | . . . | |nx ??? ? ?成巴拿赫空間 空間 [a,b]C 按范數(shù) m ax | ( ) |a t bx x t???成巴拿赫空間 空間 pl 是巴拿赫空間 區(qū)別與聯(lián)系： 任意賦范線性空間都是度量空間 賦范線性空間是一種特殊的度量空間，當它完備時稱之為巴拿赫空間。 第八章 有界線性算子和連續(xù)線性泛函 167。 1 有界線性算子和線性泛函的定義 167。 ：設(shè) X 和 Y 是兩個同為實（或復）的線性空間， D 是 X 的線性子空間， T 為 D 到 Y 中的映射，如果對 ,x y D??及數(shù) ? ，有()T x y T x T y? ? ?， ()x Tx??? ，則稱 T 為 D 到 Y 中的線性算子，其 D 稱為 T 的定義域，記為 ()DT， TD稱為 T 的值域，記為 ()RT ，當 T 取值于實（或復）數(shù)域時，就稱 T 為實（或復）線性泛函。 例：相似算子、微分算子、乘法算子、積分算子都是線性算子 【值得一提】 在有限維空間上，當基選定后，線性算子與矩陣是相對應的； n維線性空間上線性泛函與數(shù)組 12( , , , )n? ? ?（向量）相對應。 定義： T 為賦范線性空間 X 的子空間 ()DT到賦范線性空間 Y 中的線性算子，稱0 ()supxx D TTxTx???為算子 T 在 ()DT上的范數(shù)。 定理 1： 設(shè) T
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