《泛函分析小論》word版-文庫(kù)吧
2024-12-23 16:48 本頁(yè)面
【正文】 表示 V在映射 T作用下的像。 極限觀點(diǎn)（定理一）： , T ( )n o n oT x x x Tx n? ? ? ? ?連 續(xù) 則 定理二 :度量空間 X到 Y中的映射 T是 X上連續(xù)映射 ? Y 中任意開集 M 的原像 1TM? 是 X 中的開集。 定理二（變式）：把“開集”改為“閉集”，定理二仍成立。 167。 例題 例 設(shè) X,Y,Z 為三個(gè)度量空間， f 是 X 到 Y 中的連續(xù)映射， g 是 Y 到 Z的連續(xù)映射，證明復(fù)合映射 ( )( )= ( (x ))gf x g f是 X 到 Z 的連續(xù)映射。 證明：設(shè) G 是 Z 中開集，因 g 是 Y 到 Z 的連續(xù)映射 , 1gG? 是 Y 中開集， 又因 f 是 X 到 Y 中的連續(xù)映射， 1 1()f g G? 是 X 中的開集， 即 1(g f) G 是 X 中的開集，即 (g f) 連續(xù)。 【分析】此題就是利用定理二來證明的。 167。 柯西點(diǎn)列和完備度量空間 167。 定義：設(shè) ( , )X X d? 是度量空間， ? ?nx 是 X中點(diǎn)列，如果對(duì) 0???，?正整數(shù) ()NN?? ,使當(dāng) ,n m N? 時(shí)，必有 ( , )nmd x x ??，則稱??nx 是 X 中的柯西點(diǎn)列，如果度量空間 ( , )Xd中每個(gè)點(diǎn)列都在 ( , )Xd中收斂，那么 稱 ( , )Xd是完備的度量空間。 167。 相關(guān)結(jié)論 Q全體按絕對(duì)值距離構(gòu)成的空間不完備 柯西點(diǎn)列不一定收斂，但是度量空間中每一個(gè)收斂點(diǎn)列都是柯西點(diǎn)列 柯西點(diǎn)列一定是有界點(diǎn)列 定理：完備度量空間 X 的子空間 M 是完備空間的充要條件是 M 為 X 中的閉子空間。（即完備性關(guān)于閉子空間具有可遺傳性） 【注意】開子空間不完備。 例： [a,b]C 是完備度量空間； 2l 是完備度量空間； nR 是完備的度量空間； 實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式全體 [ , ]Pab ， [ , ]Pab 作為 [a,b]C 的子空間不是完備度量空間； 167。 度量空間的完備化 定理 1 （度量空間的完備化定理）：設(shè) ( , )X X d? 是度量空間，那么一定存在 一完備度量空間 ( , )X X d? ，使 X 與 X的某個(gè)稠密子空間 W等距同構(gòu)，并且 X在等距同構(gòu)意義下是唯一的，即若 ( , )Xd??也是一萬倍度量空間，且 X與X的某個(gè)稠密空間等距同構(gòu)，則 ( , )Xd??與 ( , )Xd等距同構(gòu)。 （其中：若 ( , ) = ( , )d Tx Ty d x y，稱 ( , )X X d? 與 ( , )Xd等距同構(gòu)。） 定理 1可以通過圖形象表達(dá) 定理 39。1 ：設(shè) ( , )X X d? 是度量空間，那么存在唯一的完備空間 ( , )X X d? ，使 X 為 X 的稠密子空間。 167。 167。 定義：設(shè) X 是度量空間， T 是 X到 X中的映射，如果 ,0 1??? ? ?，.st ,x y X??， ( , ) ( , )d Tx Ty d x y??，則稱 T 是壓縮映射。 167。 1（壓縮映射定理）設(shè) X是完備的度量空間， T 是 X上的壓縮映射，那么 T 有且只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)（就是說，方程 Tx x? ，有且只有一個(gè)解）。 定理 2（隱函數(shù)存在定理）設(shè)函數(shù) ( , )f x y 在帶狀域 ,a x b y? ? ?? ? ? ? 中處處連續(xù)，且處處有關(guān)于 y 的偏導(dǎo)數(shù) 39。( , )yf x y 。如果 ?常數(shù) m 和()oXx (, )xd W 稠密 ( , )xd V 稠密 M ，滿足 39。0 ( , ) ,ym f x
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