泛函分析小論word版-資料下載頁(yè)
2025-01-07 16:48本頁(yè)面
【正文】 學(xué)家接受 .數(shù)學(xué)家經(jīng)過長(zhǎng)期的努力 ,在共軛空間中找到了? 函數(shù)的位置和理論依據(jù) .我們來看數(shù) 學(xué)家是怎樣定義 ? 函數(shù)的 . 對(duì) C[ 1, 1]中任意一個(gè)連續(xù)函數(shù) ()ft,對(duì)應(yīng)一個(gè) C[ 1, 1] 的泛函 11( )= ( ) ( )f x f t x t dt? 線性性是顯然的 ,現(xiàn)證其連續(xù)性 .對(duì)任意的 C[ 1, 1] ,有 100110 1 1 110 1( ) ( ) | = | ( ) [ ( ) ( ) ] |m a x | ( ) ( ) | | ( ) |=|| | | | ( ) |tf x f x f t x t x t dtx t x t f t dtx x f t dt???????? 0 0 0, || || 0 ( ) ( )x x x x f x f x? ? ?當(dāng) 即 時(shí) ，故 f 在 0x 點(diǎn)連續(xù) .由 0x 的任意性知 , f 在 C[ 1, 1]上連續(xù) . 考察 C[ 1, 1]中的如下函數(shù)列 nf : 2 1 | |n , |t |n( t) =10, |t |nnntf? ??????? nt 0 l im ( t) = 0 , ( t) = 1nnf f d t????? ?當(dāng) 時(shí) ， 且 ， 設(shè)想 (t) nf 的極 限函數(shù)應(yīng)當(dāng)就是有廣泛應(yīng)用的 ? 函數(shù) , 所以稱 (t) nf 為 ? 的函數(shù)序列。 但由于在 t= 0時(shí) , nlim (t) nf?? 不收斂 ,故不能采用 nlim (t) nf??來作為 ? 函數(shù)的數(shù)學(xué)定義 . 在 C[ 1, 1]的共軛空間來考察 . ? 函數(shù)序列 (t) nf 對(duì)應(yīng)于 1n1n1n1n1 1 2( t) = ( ) ( ) = ( ) ( )1 = ( ) ( n | t | n ) = ( ) , | | n n nf f t x t dt f t x t dtx dt x n? ? ???? nnl im ( x ) = l im ( ) = ( 0 )nn f x x?? ? ? ???當(dāng) 時(shí) ，, 即在 C[ 1, 1]的共軛空間中 , nf 的極限函數(shù) (記為 ? ( t ) )應(yīng)是 C[ 1, 1]上的如下泛函 : ( ) = ( 0 ) , x [ 1 , 1 ]x x C? ? ? ? 因此在泛函分析的 共軛空間的幫助下 , ? 函數(shù)有了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義，這一點(diǎn)在原空間是不可能做到 . 在定義了 ? 函數(shù)后，我們就可以用 ? 函數(shù)來描述很多物理現(xiàn)象 ,例如力學(xué)中瞬時(shí)發(fā)生作用力的沖擊力 。數(shù)字信號(hào)處理中的抽樣脈沖 。直線上質(zhì)量集中在一點(diǎn)附近時(shí)的密度 。電學(xué)中點(diǎn)電荷的密度等 . [參 考 文 獻(xiàn) ] [ 1] 程其襄 ,張奠宙 , 閆革興 , 等 . 實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ) [M] .北京 :高等教育出版社 , 1983. [ 2] Daube Chies [M] .李建平 ,楊萬(wàn)年譯 . 北京 : 國(guó)防工業(yè)出版社 , 2022. [ 3] 石智 ,王軍秋 .泛函分析初步 [M] .西安 :陜西科學(xué)技術(shù)出版社 , 2022. [ 4] 龔懷云 ,壽紀(jì)麟 , 王綿森 , 等 . 應(yīng)用泛函分析 [ M] .西安 :西安交通大學(xué)出版社 , 1985. [5] 石智 ,王軍秋 .結(jié)合小波理論講授泛函分析課程 [J] .大學(xué)數(shù)學(xué)， 2022.
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