泛函分析第七章習(xí)題解答1-25-資料下載頁(yè)
2025-03-25 05:24本頁(yè)面
【正文】 此即亦在上右連續(xù)。對(duì)任意，存在，當(dāng)時(shí)，= 對(duì)上的任一分劃，有令， （*） 因此，從而由（*）式及分點(diǎn)的任意性知，從而 即按中范數(shù)收斂于。這樣我們就證明了是完備的賦范線(xiàn)性空間，即空間。22．設(shè)是一列空間， 是一列元素，其中，并且這種元素列的全體記成，類(lèi)似通常數(shù)列的加法和數(shù)乘，在X中引入線(xiàn)性運(yùn)算。若令 證明：當(dāng)時(shí)，X是空間。證明 X顯然是線(xiàn)性空間。 先證X是賦范線(xiàn)性空間。1． 若顯然。若，則即對(duì)任意。于是，從而。2． 若， 3． 若，則再證X是完備的。設(shè)是X中柯西列，其中 對(duì)任意存在，使當(dāng)時(shí)，即于是對(duì)每一個(gè)固定的是中的柯西列。設(shè)令，由于，因此對(duì)任意，令得 再令得 因此從而，且由知按X的范數(shù)收斂于。由以上證明可知X是空間。證畢。23．設(shè)X是賦范線(xiàn)性空間，X*X為兩個(gè)X的笛卡兒乘積空間，對(duì)每個(gè)定義 則X*X成為賦范線(xiàn)性空間。證明X*X到X的映射是連續(xù)映射。 證明 設(shè)則 于是所以，這就證明了是連續(xù)映射。24． 設(shè)是實(shí)（復(fù)）數(shù)域，為賦范線(xiàn)性空間，對(duì)每個(gè)，定義證明：為到中的連續(xù)映射。證明 設(shè)同第23題一樣可證 由于收斂，必有，使則因此映射是連續(xù)的。25. 為一切收斂數(shù)列所成的空間，其中的線(xiàn)性運(yùn)算與通常序列空間相同。在中令證明：是可分的空間。證明 由第七章167。4例1知是空間。由定義易知是中的線(xiàn)性子空間，且范數(shù)定義是一致的。因此要證是空間，由167。4定理1，只要證是中的閉子空間即可。設(shè) 對(duì)于任意存在使時(shí)，有。特別地即由于因此存在對(duì)任意于是于是是柯西列，即下面證明是可分的。 設(shè) 則且是可數(shù)的。若對(duì)任意設(shè)對(duì)于任給的存在使當(dāng)時(shí)，必有。取有理數(shù)使取有理數(shù)使 令則且 故是的可數(shù)稠密子集。這就證明了是可分的空間。證畢。
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