泛函分析習(xí)題解答-資料下載頁(yè)
2025-03-25 05:24本頁(yè)面
【正文】 是賦范線性空間, 是的一個(gè)閉真子空間, 證明是疏朗集. [證法一]： 如若不然，設(shè)是一個(gè)真閉子空間， ，即存在某個(gè)，使得 . 注意到是線性子空間，因此對(duì)于，也有 .故. 此與是的真子空間相矛盾。[證法二]： 因?yàn)槭且粋€(gè)真閉子空間， 故存在某個(gè)并且.由此可以斷言: 對(duì)于每一個(gè),都不可能是的內(nèi)點(diǎn).事實(shí)上, 考慮和連線上的點(diǎn), 容易看出除非, 必有. 因?yàn)槿绻麑?duì)于某個(gè), 使得, 則, 根據(jù)線性空間的封閉性, 知,此與相矛盾. 鑒于, 所以不可能是的內(nèi)點(diǎn). 又是任意的, 故無(wú)內(nèi)點(diǎn), 因此是疏朗集. 定義3 設(shè)是內(nèi)積空間, , 如果, 則稱為相互直交的, 記為. 特別地, 若與是相互直交的單位向量, 即, 則稱它們是正規(guī)直交向量, 簡(jiǎn)稱為正交向量. 命題 (Pythagoras定理) 設(shè)是內(nèi)積空間, , 如果, 則.一般地, 若有限個(gè)向量?jī)蓛上嗷ブ苯? 則.定義4 設(shè)是內(nèi)積空間, 是相互正交的點(diǎn)集(即對(duì)任意, , 且若, 有), 通常稱為中的正規(guī)直交集, 簡(jiǎn)稱為正交集. 若中不存在與中每個(gè)向量都直交的非零向量, 則稱為的完備正交集. 引理1 (Bessel不等式) 設(shè)是內(nèi)積空間, 若 是中的正交集, 則對(duì)任意, 有. (h)定義5 設(shè)是內(nèi)積空間中的正交集,若對(duì)任意的, 有,則稱為的一個(gè)正交基, 其中稱為關(guān)于基的Fourier系數(shù).注記 (i) 定義中所出現(xiàn)的和式表示只對(duì)至多可數(shù)個(gè)非零項(xiàng)求和，且級(jí)數(shù)按由內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù)收斂。 (ii) 進(jìn)而當(dāng)內(nèi)積空間還是Hilbert空間時(shí)，成立. (j)定理6(正交基的判別法則) 設(shè)是Hilbert空間, 是正規(guī)直交集，則下列各斷言等價(jià)：(1) 是正交基，即對(duì)每一個(gè), 。 (2) 是完備的，即中不存在與垂直的非零向量；(3) Parseval等式成立，即對(duì)于任意的, 則.定理7 (正交基的存在性) 每個(gè)非零的Hilbert空間都有正交基.定義 (可分性) 距離空間稱為是可分的，如果該距離空間存在可數(shù)的稠密子集.定理8 (正交基的存在性) 如果是可分的Hilbert空間，則有一個(gè)可數(shù)的正交基.定理1 (CauchySchwarz不等式) 設(shè)是內(nèi)積空間, 則對(duì)于任意的, 有. 定理2 (內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù)) 設(shè)是內(nèi)積空間, 對(duì)于任意的, 定義 .則是線性賦范空間, 稱為由內(nèi)積誘導(dǎo)出的范數(shù). 內(nèi)積誘導(dǎo)出的范數(shù)具有性質(zhì): , (b), (c), (d). (e)定理3 (極化恒等式) 設(shè)是內(nèi)積空間, 則對(duì)于任意的, 有 (當(dāng)時(shí))。 (f ’)或(當(dāng)時(shí)). (f)其中是由內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù), 即.定理4 (范數(shù)和內(nèi)積的關(guān)系) 設(shè)是線性賦范空間, 則可以賦予內(nèi)積的充分必要條件為范數(shù)滿足平行四邊形法則: . (g)當(dāng)范數(shù)滿足平行四邊形法則時(shí), 可以定義 (當(dāng)時(shí))?；?當(dāng)時(shí)). 進(jìn)而, 此時(shí)原范數(shù)還是由內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù). 定義2 完備的內(nèi)積空間稱為Hilbert空間. 即設(shè)是內(nèi)積空間, 如果是完備的線性賦范空間, 則稱內(nèi)積空間為Hilbert空間, 其中是由內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù).定理5 設(shè)是內(nèi)積空間, 則按范數(shù)的完備化空間是Hilbert空間. 定義3 設(shè)是內(nèi)積空間, , 如果, 則稱為相互直交的, 記為. 特別地, 若與是相互直交的單位向量, 即, 則稱它們是正規(guī)直交向量, 簡(jiǎn)稱為正交向量. 命題 (Pythagoras定理) 設(shè)是內(nèi)積空間, , 如果, 則.一般地, 若有限個(gè)向量?jī)蓛上嗷ブ苯? 則.定義4 設(shè)是內(nèi)積空間, 是相互正交的點(diǎn)集(即對(duì)任意, , 且若, 有), 通常稱為中的正規(guī)直交集, 簡(jiǎn)稱為正交集. 若中不存在與中每個(gè)向量都直交的非零向量, 則稱為的完備正交集. 引理1 (Bessel不等式) 設(shè)是內(nèi)積空間, 若 是中的正交集, 則對(duì)任意, 有. (h)補(bǔ)充作業(yè)證明 ()中的三角不等式(Minkowski不等式): , 其中, .證： 當(dāng)時(shí), 不等式顯然成立, 以下不妨設(shè), 并記. 對(duì)于和, 不失一般性, 設(shè). 在不等式中取, , 則可得, ().對(duì)求有限和: .令, 可得 ,整理可得(無(wú)窮和的Holder不等式).此即表明: 對(duì)于, , 并且.以下設(shè), 記, 則容易看出. 由上述的結(jié)果知道且同理由此可以得到進(jìn)而如果所欲證明的不等式顯然成立, 故不妨設(shè), 則由上式得,其中, 由此得所欲求. 泛函分析第一章部分補(bǔ)充內(nèi)容1. 證明的“本性上確界”定義中的下確界可以達(dá)到, 即對(duì)于, 存在中的零測(cè)集, 使得證明: 由下確界的定義, 對(duì)于(),存在零測(cè)集, 使得.取. 則且仍是零測(cè)集(可數(shù)多個(gè)零測(cè)集的并仍是零測(cè)集). 進(jìn)而對(duì)每個(gè)有, 因而令, 即可得到.另一方面, 因?yàn)槭橇銣y(cè)集, 因而.結(jié)合上述兩個(gè)方面的結(jié)果, 可以得到所需結(jié)論. 2. 證明中的按距離收斂等價(jià)于函數(shù)列的幾乎處處一致收斂.證明: 設(shè)有點(diǎn)列. 先設(shè)按中的距離收斂于. 因?yàn)椤氨拘陨洗_界”定義中的下確界可以達(dá)到（見(jiàn)上一題目）, 則對(duì)于,存在中的零測(cè)集, 使得取. 則且仍是零測(cè)集(可數(shù)多個(gè)零測(cè)集的并仍是零測(cè)集). 進(jìn)而對(duì)每個(gè)有, 因而當(dāng)時(shí)即在中一致收斂于，故在中幾乎處處一致收斂于，因?yàn)?再設(shè)在中幾乎處處一致收斂于. 因此存在零測(cè)集使得當(dāng)時(shí).因此.即按中的距離收斂于.當(dāng)時(shí), 記為的相拌數(shù),即共軛數(shù), 即滿足.當(dāng)時(shí), 可以認(rèn)為。當(dāng)時(shí), . 和中的范數(shù)記分別記為()。 .命題2. 設(shè), 定義: 對(duì)任何, . 則是上的有界線性泛函, 且證明：情形一：. (i) 利用Holder不等式容易證明是有意義的. (ii) 是線性泛函 (證略)。(iii) 由Holder不等式, 我們有,即是有界線性泛函, 且, (*)(iv) 我們?cè)僮C明: .不失一般性，可設(shè). 取一個(gè)特殊的, 其中的每一個(gè)分量按照下面的形式定義: , ().不難計(jì)算(這里用到了和.). 進(jìn)而根據(jù)的定義, 我們不難得到情形二：(即).(i) 容易證明是有意義的.(ii) 是線性泛函 (證略)。(iii) 我們有,即是有界線性泛函, 且.(iv) 我們斷言: . 不失一般性, 可設(shè). 取, 則顯然且，因此有. 而是任意的自然數(shù), 因此得到: . 情形三： (此時(shí)).(i) 易證是有意義的.(ii) 是線性泛函 (證略)。(iii) 對(duì)于, 我們有,即是有界線性泛函, 且.(iv) 我們斷言: . 不失一般性, 可設(shè). 取, 則顯然且，因此有. 以下設(shè)是可測(cè)集, 不失一般性, 可設(shè). 當(dāng)時(shí), 記為的相拌數(shù),即共軛數(shù), 即滿足.當(dāng), 可以認(rèn)為。當(dāng), 可以認(rèn)為.進(jìn)而因?yàn)楣? 和中的范數(shù)記分別記為。 .命題1. 設(shè), 定義: 對(duì)任何, 定義. 則是上的有界線性泛函, 且證明：情形一：. (i) 利用Holder不等式容易證明是有意義的. (ii) 是線性泛函 (證略)。(iii) 由Holder不等式, 我們有,即是有界線性泛函, 且,(iv) 我們?cè)僮C明: .不失一般性，可設(shè). 取一個(gè)特殊的如下: .顯然是可測(cè)的, 且不難計(jì)算進(jìn)而根據(jù)的定義, 我們可以得到情形二：(即).(i) 利用Holder不等式容易證明是有意義的.(ii) 是線性泛函 (證略)。(iii) 既然是本性有界的，記其在上的本性上確界為. 我們有,即是有界線性泛函, 且, (iv) 我們斷言:對(duì)于任意取定的成立,.不失一般性,可設(shè). 取一個(gè)特殊的如下(其中): .顯然仍是有界可測(cè)的, 注意到因?yàn)椋虼艘彩巧系姆汉?作用方式仍然相同), 并且在上的算子范數(shù)不會(huì)超過(guò)在上的算子范數(shù). 故根據(jù)的定義得到注意到的任意性和下述事實(shí)(可見(jiàn)參考文獻(xiàn))： 最后我們得到. 這一部分還有另外一種證法如下：我們斷言: . 不失一般性, 可設(shè). 任取使得. 記.則. 再定義顯然是可測(cè)的, 且.而令可以得到.情形三： (此時(shí)).(i) 易證是有意義的.(ii) 是線性泛函 (證略)。(iii) 對(duì)于, 我們有,即是有界線性泛函, 且, (iv) 我們斷言:.不失一般性,可設(shè). 取一特殊的如下: .顯然仍是有界可測(cè)的, 注意到根據(jù)的定義得到最后我們得到.78
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