信號(hào)與系統(tǒng)-chapter3-泛函分析初步-資料下載頁
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【正文】 ]22T , , , , ,T,bah t dL a b L a bx t x h t a b a b? ?? ?????：， 在 上 連 續(xù)X YT0xnx T nx 0T x00 0 , T T 0 ,nnx x n x x n? ? ? ? ? ? ? ? ?逐點(diǎn)連續(xù) ↑ 依范數(shù)連續(xù) 36 167。 完備 規(guī)范 正交 集上的 廣義傅里葉展開 37 167。 正交（ Orthogonal） ? 定義 ：在內(nèi)積空間 W 中，若 ，滿足 ，則稱 正交 ，記為 。其中 k 為常數(shù)， 為 Kronecker 符號(hào)： ? 正交子集 ： 中任意兩個(gè)元正交。 ,ij W?XX,i j ijk ??XX ijXX與ij^XX ij?1,0,ijijij???? ??=VW?38 集合正交： ? ? ? 規(guī)范正交完備 集 V： （ 正交 ） （ 規(guī)范 ） （ 完備 ） , 集 正 交 X Y W X YX Y X YXYXY： ， 、 ， ： 。若 對(duì) 有則 稱 集 與 集 正 交 ， 記 為? ? ? ? ?^^? ?, ,V W V V W VVVXX：。的 正 交正 補(bǔ)顯 然交 補(bǔ) ^^? ? ? ^^? ?1 ,23ij iij jVkkV?^? ? ???X X X X（ ） , ，（ ） 1（ ） 0 返回 39 Hilbert空間性質(zhì) ： ? 定理： Hilbert空間 存在規(guī)范正交完備集。 ? 定理： W 是 Hilbert空間， ， V 是W 的正交子集。 W V V ^??（ 直和 ） 40 167。 正交投影 （ Orthogonal Projection） ? ? Motive： VoV^0?0 0 00W V W WVVV??? ? ?? ? ? ^ ? ?Hil b e r t S： ， ， ， ， ，=P 。XY X = Y Y XYX V是 對(duì)若 使 則 稱 是在 上 的 正 交 投 影 （ 簡 稱 投 影 ） ， 記 為正 交 投 影0 ；。YX與 的 距 離 最 小正 交 投 影 使 均 方 誤 差 最 小 化41 167。 廣義傅里葉展開 ? 廣義傅里葉展開：設(shè) 是 Hilbert 空間 W 的 規(guī)范正交完備集 ，則對(duì) 其中： 稱為廣義傅里葉系數(shù)。 ? 注： 是 Hilbert空間 W 的規(guī)范且完備的一組正交基。 是 X 在 上的投影。 ? ? 1i iV ? ???XW?? ， 有11,i i i iiiX c X X， 是 對(duì) 向 量 的 分 解? ? ?????????,iicX ??? ? 1i iV ? ???ic i?42 ? Parseval 等式 設(shè)： 則： ? 物理解釋：信號(hào)總能量＝各分量的能量之和。 ? 幾何解釋：廣義勾股定理。 11,i i i iiiX c X? ? ?????????222211,iiiiX X c 能 量 分 解?????????！43 ? 用 N 項(xiàng)廣義傅里葉展開逼近 X： 設(shè) 是 Hilbert 空間 W 的規(guī)范正交完備集： X在 上的投影： 。 這里 規(guī)范正交，但不完備。 ? ? 1i iV ? ???? ? ? ? ? ?1 1 1Ni i i N Ni i i NV V V? ? ??? ^? ? ? ?? ? ? ?@1? ,NiiiXX ???? ?NVNV44 End of Chapter 3 Thx~ 4 Ur Attention. A Big Bow ~ 45 廣義函數(shù)的定義 ? 廣義函數(shù) —— 函數(shù)序列的某種極限。 若函數(shù)列 、函數(shù) f (x) 對(duì) 均有 即： 則稱： 的弱極限，一種 廣義極限； 亦稱： 弱收斂于 f (x)； 亦稱： f (x)是 D(Ω)上的廣義函數(shù)。 ? ? 1()m mfx ? ? ? ?()x?? ? ?D( ) ( ) l im ( ) ( )mmf x x f x x?? ???， ，( ) ( ) l im ( ) ( )mmf x x d x f x x d x???? ?????? ? ? ? 1()m mf x f x ? ?是? ? 1()m mfx ? ?46 完備性概念 ? ? ? ?? ?? ?? ? ? ?, l i m 0 l i m 0nmnpmnpnpnxxxx L x x， ， ，： 。對(duì) 任 意 可 測 集 上 的 序 列 滿 足則 有 此 時(shí) ， 稱 可 測 集 上 的 勒 貝 格 函 數(shù) 空 間具 有 完 備 性 。亦 即 上 的 序 列 收 斂 到 上????????? ? ? ? ?????ppppLLLL
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