應(yīng)用泛函分析習(xí)題解答-資料下載頁
2025-03-25 01:39本頁面
【正文】 ：存在，使得。由。又是連續(xù)的，所以。4．定義算子為。證明，并求。證明：已知與是等距同構(gòu)的，所以，使得。，式中為對(duì)序列的左移兩步算子，即。所以。第 七 節(jié)3．設(shè)，是的特征值，證明是的特征值，這里。證明：。依此類推，可得，所以是的特征值。7．定義為，證明是緊線性算子，且。（注：原題要證明，本人認(rèn)為有誤。）證明：令為。則是線性算子，且是有限秩算子，所以是緊線性算子。，所以。由于是Banach空間，所以。，所以是單映射，又是的真子空間。再由的任意性。第 三 章第 一 節(jié)2．設(shè)實(shí)數(shù)列滿足，證明：。證明：設(shè)。則。由Schwarz不等式可得：。3．設(shè)是內(nèi)積空間中的點(diǎn)列，且對(duì)一切。證明：。證明：必要性是顯然的。下證充分性。――（１）式。由于當(dāng)時(shí)，。所以由（１）式可得：。4．證明按范數(shù)不能成為內(nèi)積空間，即該范數(shù)不能由內(nèi)積導(dǎo)出。解：取。則。這表明不滿足平行四邊形法則，即該范數(shù)不能由內(nèi)積導(dǎo)出。第 二 節(jié)2．設(shè)是Hilbert空間的非空子集。證明：已知，顯然,所以。，有，而由構(gòu)造方法可知：。所以。另一方面。綜上所述，有。由內(nèi)積的連續(xù)性，很容易得到。3．設(shè)是Hilbert空間的凸子集，是中的點(diǎn)列，且滿足條件：。證明是中的收斂點(diǎn)列。（提示：仿定理3的證明。）證明：5．設(shè)是Hilbert空間的子空間，證明。（提示：利用投影定理。）證明：由于。不妨設(shè)是閉集，否則用代替。由習(xí)題2的結(jié)論有，所以只要證明。設(shè)，則關(guān)于的投影為。由于，所以上式也可理解為關(guān)于的投影，又因?yàn)殛P(guān)于的投影也可寫成：，而投影是唯一的，所以。這表明。綜上所述。6．設(shè)是Hilbert空間的子空間，且對(duì)任何，在上的投影都存在，證明是的閉子空間。（提示：利用投影定理。）證明：實(shí)際上只要證明是閉集即可。設(shè)是中的收斂點(diǎn)列，且滿足。由條件知：關(guān)于有唯一的分解。所以有。所以。這表明是閉集。第 三 節(jié)1． 設(shè)是Hilbert空間中的標(biāo)準(zhǔn)正交系，證明是完備的標(biāo)準(zhǔn)正交系等價(jià)于。證明：完備完全。而。所以是完備的標(biāo)準(zhǔn)正交系等價(jià)于。第 四 節(jié)1． 設(shè)定義為。求的共軛算子。解：令。則。所以。2． 設(shè)定義為。求的共軛算子。解：令。則。所以。第 五 節(jié)1． 設(shè)是Hilbert空間上的自伴算子且有有界逆算子。證明也是自伴算子。證明：。所以也是自伴算子。2． 設(shè)是中的完備標(biāo)準(zhǔn)正交系，其中。令，求出上投影算子的具體形式。解：。顯然，所以。第 四 章第 一 節(jié)1． 設(shè)是的子集，，證明下述條件等價(jià)：1）在處連續(xù)；2）對(duì)中任何收斂于的點(diǎn)列，恒有；3）對(duì)任何，存在，使。證明：1）2）。在處連續(xù)，當(dāng)時(shí)。設(shè)，當(dāng)時(shí)。特別得取，有，當(dāng)時(shí)。所以。2）1）。若在處不連續(xù)，當(dāng)時(shí)，但。特別得對(duì)于也成立，取，但。因此有，不收斂于，這與矛盾。所以對(duì)中任何收斂于的點(diǎn)列，恒有。1）3）。設(shè)，則必有，且。由在處連續(xù)，當(dāng)時(shí)。所以。3）1）。由算子連續(xù)性的定義顯然成立。第 三 節(jié)2． 設(shè)在上－可微，證明在處連續(xù)等價(jià)于：對(duì)任何，存在，當(dāng)，時(shí)。證明：在處連續(xù)，當(dāng)時(shí)，有。此外當(dāng)，時(shí)。從而有：，當(dāng)，時(shí)，有。第 五 節(jié)1． 設(shè)在上連續(xù)，且。證明在上必有連續(xù)可微解。證明：略。（方法同下題，并可參考P152頁例2。）2． 設(shè)在上非負(fù)連續(xù)，且，證明積分方程在上必有連續(xù)解。證明：令。顯然是非空有界閉凸集。則。則為。下面要證是全連續(xù)的，為此要證是緊算子且連續(xù)。首先來說明它是緊算子。實(shí)際上由于有界，則只要說明有界且是等度連續(xù)的即可。由于有界，則有界，所以有界。，取，則當(dāng)時(shí)，對(duì)一切有：。所以是等度連續(xù)的。由以上兩個(gè)方面可知，是緊算子。最后來說明是連續(xù)的。設(shè)，且，只要能說明即可。，由在上連續(xù)知：，當(dāng)，且時(shí)，有。由，當(dāng)時(shí)，有。由此可知：，當(dāng)，有。則。所以，這表明是連續(xù)的。綜上所述，由LeraySchauder不動(dòng)點(diǎn)原理可知：積分方程在上必有連續(xù)解。19
試題試卷相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1