應(yīng)用泛函分析習(xí)題解答-文庫吧在線文庫
【正文】 密和，使得和，使得不在中稠密。充分性：對(duì)于任意，存在，使得當(dāng)時(shí)，有；對(duì)于任意，存在，使得當(dāng)時(shí)，有，顯然對(duì)于特定的，也存在，使得當(dāng)時(shí)，有。由，使得，存在，使得當(dāng)時(shí)，有的任何領(lǐng)域內(nèi)既有的點(diǎn)。所以， 。因此。）證明：令為（1）式。對(duì)，其中表示，則成為賦范空間。設(shè)是中的Cauchy列。綜上所述，它是Banach空間。（１） 若必是第一綱集的話，按（２）中的結(jié)論可知必是第一綱集，此與是第二綱集矛盾，所以是第一綱集。8．證明是中的第一綱集。由此可知：收斂，且極限為。且，使得，且。4．證明：若是緊集，則也是緊集。設(shè)是一列緊集，記。顯然，由是緊集，則的子列，使得，且；此外取，由是緊集，則的子列，使得，且。證明：用反證法。設(shè)，則必存在一列，使得。第 六 節(jié)5．設(shè)是一組實(shí)數(shù)，滿足條件，其中。由是壓縮映射，且是完備子空間，由壓縮映射原理可知：存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)。證明：令。）證明：令為：。取充分大使。證明：充分性顯然。綜上所述。定義為：對(duì)，其中。證明。所以。充分性：若連續(xù)是上的閉子空間。所以是的閉子空間。定義為，由于是連續(xù)映射，且緊集的連續(xù)像是緊集，則必存在，使得。證明只要滿足，則。6．設(shè)是賦范空間的非空集。證明：以為例來說明。第 四 節(jié)3．設(shè)按范數(shù)是Banach空間，且當(dāng)時(shí)，對(duì)一切恒有。此外。4．設(shè)均是Banach空間，若對(duì)于任意的，方程都有唯一的解。5．設(shè)是Banach空間，、均的閉子空間，且（即對(duì)于任意的，都有唯一的表示，其中，）。由于，所以。這表明，所以是Banach空間。根據(jù)閉圖像定理可知有界。證明：令為，其中。證明：令為，其中。若。證明：由泛函延拓定理可得：存在，使得。第 七 節(jié)3．設(shè)，是的特征值，證明是的特征值，這里。由于是Banach空間，所以。證明：。則。綜上所述，有。不妨設(shè)是閉集，否則用代替。）證明：實(shí)際上只要證明是閉集即可。而。求的共軛算子。2． 設(shè)是中的完備標(biāo)準(zhǔn)正交系，其中。特別得取，有，當(dāng)時(shí)。設(shè)，則必有，且。從而有：，當(dāng)，時(shí)，有。則。由以上兩個(gè)方面可知，是緊算子。綜上所述，由LeraySchauder不動(dòng)點(diǎn)原理可知：積分方程在上必有連續(xù)解。由，當(dāng)時(shí)，有。實(shí)際上由于有界，則只要說明有界且是等度連續(xù)的即可。（方法同下題，并可參考P152頁例2。由算子連續(xù)性的定義顯然成立。特別得對(duì)于也成立，取，但。第 四 章第 一 節(jié)1． 設(shè)是的子集，證明下述條件等價(jià)：1）在處連續(xù)；2）對(duì)中任何收斂于的點(diǎn)列，恒有；3）對(duì)任何，存在，使。第 五 節(jié)1． 設(shè)是Hilbert空間上的自伴算子且有有界逆算子。解：令。所以。這表明。（提示：仿定理3的證明。證明：已知，顯然,所以。由于當(dāng)時(shí)。證明：設(shè)。（注：原題要證明，本人認(rèn)為有誤。證明，并求。已知是連續(xù)的，且，所以。另一方面，令，則。所以；另一方面取，則。必要性：已知，由與等價(jià)，則。取，且。則，當(dāng)時(shí)，有。）證明：首先說明是賦范空間。由于是Banach空間，所以。所以。顯然是線性雙映射。再由的構(gòu)造方法可知。設(shè)，則由習(xí)題5的結(jié)論可知：只要滿足，則。所以只要這一條件成立，必可推出只要滿足，則。第 二 章第 一 節(jié)4．設(shè)賦范空間，證明：對(duì)于任何，恒有。又因?yàn)橛薪玳]集都是緊集與是有限維是等價(jià)的，所以是有限維等價(jià)與中的有界閉集都是緊集。第 八 節(jié)1．設(shè)是非負(fù)整數(shù)，證明上次數(shù)不超過的多項(xiàng)式全體是的閉子空間。綜上所述。上述推導(dǎo)過程中，（1）利用了Holder不等式。另一方面，對(duì)任意固定的，令，且。綜上所述。注：定義域空間中的范數(shù)為：；值域空間中的范數(shù)為：。因此當(dāng)充分大時(shí)。顯然，如果，則。由上述推導(dǎo)可知是壓縮上的壓縮映射，又是完備的。所以是上的壓縮映射，且是完備的。證明：令的映射為。同理可證：存在。再由的連續(xù)性，則，此與矛盾。由此可知：，則。所以緊集的任意交是緊集。則必存在整數(shù)，使得含有的無窮多項(xiàng)，記為。由接觸點(diǎn)的性質(zhì)，存在，使得——（1）式。有，使得，子列，使得是列緊的——（1）式。證明：設(shè)是緊集，且是中的Cauchy序列。
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