應用泛函分析習題解答(存儲版)
【正文】 。由收斂序列的極限與其子列的極限一致，則。由于是緊集中的序列，則必存在子列，由（１）式可知。由此可知：。顯然，證明解的唯一性等價于證明映射有唯一的不動點。則對和有：。令，則。利用數(shù)學歸納法：當時，設，則：。3．定義為，再定義為，試問與是否可換（即）？并求，及。（3），所以；又當時，故。所以。所以。由此可知：。故若不連續(xù)。構造為，這里由此可知與拓撲同構。緊，使。設滿足，但，由Ｐ50頁的推論2的結論可知，這與矛盾。必要性。由泛函延拓定理知：，使得。）證明：令為。根據(jù)閉圖像定理，則是有界的。由的連續(xù)性意知是連續(xù)的。（提示：對，其中，令，說明是Banach空間。設是中的Cauchy列。則是線性雙映射。最后我們來證明題目的結論。此外。此外，所以。再由。4．定義算子為。7．定義為，證明是緊線性算子，且。第 三 章第 一 節(jié)2．設實數(shù)列滿足，證明：。――（１）式。第 二 節(jié)2．設是Hilbert空間的非空子集。證明是中的收斂點列。由于，所以上式也可理解為關于的投影，又因為關于的投影也可寫成：，而投影是唯一的，所以。所以有。求的共軛算子。所以。顯然，所以。若在處不連續(xù)，當時，但。3）1）。證明：略。首先來說明它是緊算子。，由在上連續(xù)知：，當，且時，有。19。最后來說明是連續(xù)的。則為。第 五 節(jié)1． 設在上連續(xù)，且。由在處連續(xù)，當時。所以。令，求出上投影算子的具體形式。解：令。所以是完備的標準正交系等價于。設是中的收斂點列，且滿足。由習題2的結論有，所以只要證明。由內(nèi)積的連續(xù)性，很容易得到。證明：必要性是顯然的。，所以是單映射，又是的真子空間。證明：。由。證明。則。則。再根據(jù)逆算子定理也有界。下面要說明的是范數(shù)與是等價的。由此可知是賦范空間。又設。證明。再由，可得。證明范數(shù)與范數(shù)等價。令，則它為中的子空間。證明可用中元的有限線性組合逼近的充要條件是：只要滿足，則。證明：必要性。令，則是有界閉集，又因為是有限維的，所以是緊集。2．證明定理3（賦范空間是有限維的充要條件是：中的有界閉集都是緊集。又因為在中稠密，所以。令一方面，令，則。（提示：利用Holder不等式。證明：。（2），所以；又當時，故。下證必要性。在利用定理4。則。方程組等價與。6．已知，證明函數(shù)方程在上存在唯一的連續(xù)解。證明代數(shù)方程組對任何都存在唯一解。由是緊集，則及，使得。當，且時，恒有。由收斂序列的極限與其子列的極限一致，則，且。則對任意整數(shù)，都有。證明：是緊集，子列，使得，且，子列，使得，且是緊集。由收斂序列的極限與其子列的極限一致，可知，由此可知是閉集。則是完備子集。證明：用表示次數(shù)不超過的多項式，則是的真閉子集，由習題7的結論可知在是稀疏的。6．設是賦范空間中的閉集，且不是稀疏集，證明必包含中某個閉球。5．設、是賦范空間的子集，且，證明：（１） 若是第二綱集，則必是第二綱集；（２） 若是第一綱集，則必是第一綱集；證明：先證明（２）。則，當時，有，即――（１）式。證明它是Banach空間。則在（1）式中，當時，有；當時，有，令此式為（2）式。綜上所述。6．驗證例4中構造的泛函滿足題給條件。由存在，且，存在，使得當時，有的任何領域內(nèi)既有的點。因此取，對于任意的，存在，使得當，有，所以在處連續(xù)。第 三 節(jié)2．設，且，證明：。特別有，因此取，所以有且，故，所以。此外，設，而。所以。8．證明。充分性：，且，使得，使得是的孤立點。則。此時若是無窮集，則稱是無窮維的；若是有限集，則稱是有限維的，并定義的維數(shù)為中所含有的元素個數(shù)。泛函分析與應用國防科技大學第 一 章第 一 節(jié)3．設是賦范空間中的Cauchy列，證明有界，即。若是線性無關的，且，則稱是是的一個Hamel基。為此對，令。2）必要性：是的孤立點，且，使得，且，使得，且。解：。設，使得，使得。是開集，而由習題9的結論可知，是含于的最大開集，所以。由，都有，都有。2）不在中稠
試題試卷相關推薦
鄂ICP備17016276號-1