應(yīng)用泛函分析習(xí)題解答(存儲(chǔ)版)
【正文】 。由收斂序列的極限與其子列的極限一致，則。由于是緊集中的序列，則必存在子列，由（１）式可知。由此可知：。顯然，證明解的唯一性等價(jià)于證明映射有唯一的不動(dòng)點(diǎn)。則對(duì)和有：。令，則。利用數(shù)學(xué)歸納法：當(dāng)時(shí)，設(shè)，則：。3．定義為，再定義為，試問(wèn)與是否可換（即）？并求，及。（3），所以；又當(dāng)時(shí)，故。所以。所以。由此可知：。故若不連續(xù)。構(gòu)造為，這里由此可知與拓?fù)渫瑯?gòu)。緊，使。設(shè)滿足，但，由Ｐ50頁(yè)的推論2的結(jié)論可知，這與矛盾。必要性。由泛函延拓定理知：，使得。）證明：令為。根據(jù)閉圖像定理，則是有界的。由的連續(xù)性意知是連續(xù)的。（提示：對(duì)，其中，令，說(shuō)明是Banach空間。設(shè)是中的Cauchy列。則是線性雙映射。最后我們來(lái)證明題目的結(jié)論。此外。此外，所以。再由。4．定義算子為。7．定義為，證明是緊線性算子，且。第 三 章第 一 節(jié)2．設(shè)實(shí)數(shù)列滿足，證明：。――（１）式。第 二 節(jié)2．設(shè)是Hilbert空間的非空子集。證明是中的收斂點(diǎn)列。由于，所以上式也可理解為關(guān)于的投影，又因?yàn)殛P(guān)于的投影也可寫成：，而投影是唯一的，所以。所以有。求的共軛算子。所以。顯然，所以。若在處不連續(xù)，當(dāng)時(shí)，但。3）1）。證明：略。首先來(lái)說(shuō)明它是緊算子。，由在上連續(xù)知：，當(dāng)，且時(shí)，有。19。最后來(lái)說(shuō)明是連續(xù)的。則為。第 五 節(jié)1． 設(shè)在上連續(xù)，且。由在處連續(xù)，當(dāng)時(shí)。所以。令，求出上投影算子的具體形式。解：令。所以是完備的標(biāo)準(zhǔn)正交系等價(jià)于。設(shè)是中的收斂點(diǎn)列，且滿足。由習(xí)題2的結(jié)論有，所以只要證明。由內(nèi)積的連續(xù)性，很容易得到。證明：必要性是顯然的。，所以是單映射，又是的真子空間。證明：。由。證明。則。則。再根據(jù)逆算子定理也有界。下面要說(shuō)明的是范數(shù)與是等價(jià)的。由此可知是賦范空間。又設(shè)。證明。再由，可得。證明范數(shù)與范數(shù)等價(jià)。令，則它為中的子空間。證明可用中元的有限線性組合逼近的充要條件是：只要滿足，則。證明：必要性。令，則是有界閉集，又因?yàn)槭怯邢蘧S的，所以是緊集。2．證明定理3（賦范空間是有限維的充要條件是：中的有界閉集都是緊集。又因?yàn)樵谥谐砻?，所以。令一方面，令，則。（提示：利用Holder不等式。證明：。（2），所以；又當(dāng)時(shí)，故。下證必要性。在利用定理4。則。方程組等價(jià)與。6．已知，證明函數(shù)方程在上存在唯一的連續(xù)解。證明代數(shù)方程組對(duì)任何都存在唯一解。由是緊集，則及，使得。當(dāng)，且時(shí)，恒有。由收斂序列的極限與其子列的極限一致，則，且。則對(duì)任意整數(shù)，都有。證明：是緊集，子列，使得，且，子列，使得，且是緊集。由收斂序列的極限與其子列的極限一致，可知，由此可知是閉集。則是完備子集。證明：用表示次數(shù)不超過(guò)的多項(xiàng)式，則是的真閉子集，由習(xí)題7的結(jié)論可知在是稀疏的。6．設(shè)是賦范空間中的閉集，且不是稀疏集，證明必包含中某個(gè)閉球。5．設(shè)、是賦范空間的子集，且，證明：（１） 若是第二綱集，則必是第二綱集；（２） 若是第一綱集，則必是第一綱集；證明：先證明（２）。則，當(dāng)時(shí)，有，即――（１）式。證明它是Banach空間。則在（1）式中，當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，有，令此式為（2）式。綜上所述。6．驗(yàn)證例4中構(gòu)造的泛函滿足題給條件。由存在，且，存在，使得當(dāng)時(shí)，有的任何領(lǐng)域內(nèi)既有的點(diǎn)。因此取，對(duì)于任意的，存在，使得當(dāng)，有，所以在處連續(xù)。第 三 節(jié)2．設(shè)，且，證明：。特別有，因此取，所以有且，故，所以。此外，設(shè)，而。所以。8．證明。充分性：，且，使得，使得是的孤立點(diǎn)。則。此時(shí)若是無(wú)窮集，則稱是無(wú)窮維的；若是有限集，則稱是有限維的，并定義的維數(shù)為中所含有的元素個(gè)數(shù)。泛函分析與應(yīng)用國(guó)防科技大學(xué)第 一 章第 一 節(jié)3．設(shè)是賦范空間中的Cauchy列，證明有界，即。若是線性無(wú)關(guān)的，且，則稱是是的一個(gè)Hamel基。為此對(duì)，令。2）必要性：是的孤立點(diǎn)，且，使得，且，使得，且。解：。設(shè)，使得，使得。是開(kāi)集，而由習(xí)題9的結(jié)論可知，是含于的最大開(kāi)集，所以。由，都有，都有。2）不在中稠
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