泛函分析小論word版(已修改)
2025-01-19 16:48 本頁面
【正文】 泛函分析論文 泛函分析在數(shù)學(xué)物理方程、概率論、計算數(shù)學(xué)等分科中都有應(yīng)用，是 20 世紀發(fā)展起來的一門新學(xué)科，其中泛函是函數(shù)概念的推廣，對比函數(shù)是數(shù)與數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系，我們發(fā)現(xiàn)泛函是函數(shù)和數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系。在學(xué)習(xí)泛函分析前，我們先確定學(xué)習(xí)目標：理解和掌握“三大空間和三大定理”。學(xué)習(xí)中慢慢體味泛函分析的綜合性及專業(yè)性。 167。 1 度量空間 167。 定義： 若 X 是一個非空集合， :d X X R??是滿足下面條件的 實值函數(shù)，對于 ,x y X??，有 （ 1） ( , ) 0d x y ? 當且僅當 xy? ； （ 2） ( , ) ( , )d x y d y x? ； （ 3） ( , ) ( , ) ( , )d x y d x z d y z??， 則稱 d 為 X 上的度量，稱 ( , )Xd為度 量空間。 【理解】度量空間就是：集合 +距離；（滿足非負性、對稱性及三點不等式） 其實度量空間是在實變函數(shù)中接觸的知識，但其在泛函分析學(xué)科中的重要性，我們可以通過度量空間的進一步例子來感受。 167。 度量空間的進一步例子 例： 離散的度量空間 ( , )Xd，設(shè) X 是一個非空集合， ,x y X??，當1,( , )0 , =xyd x yxy??? ??當當。 序列空間 S ， i=1 i| |1( , ) 2 1 +| |iii id x y?????? ?是度量空間 有界函數(shù)全體 ()BA ， ( , ) s u p | ( t) ( t) |tAd x y x y??是度量空間 連續(xù)函數(shù) [a,b]C ， ( , ) m a x | ( t) ( t) |a t bd x y x y???是度量空間 空間 2l ， 12 2=1( , ) [ ( ) ]kkid x y y x?? ?是度量空 間 167。 ，稠密集，可分空間 167。 極限：類似數(shù)學(xué)分析定義極限，如果 ??nx 是 ( , )Xd中點列，如果? xX? ，使nlim ( , )=0nd x x??，則稱點列 ? ?nx 是 ( , )Xd中的收斂點列 ， x是點列 ??nx 的極限。 同樣的類似于 nR ，度量空間中收斂點列的極限是唯一的。 167。 稠密子集與可分空間 :設(shè) X 是度量空間， E 和 M 是 X 中兩個子集，令M M M?表 示 的 閉 包 ， 如 果 E,那么稱集 M在集 E中稠密，當 E=X時，稱M為 X的一個稠密子集，如果 X有一個可數(shù)的稠密子集，則稱 X是可分空間。 即：??, , . ( )nnM E x E x M s t x x n? ? ? ? ? ? ? ?在 中 稠 密 對 167。 例子 n維歐氏空間 nR 是可分空間； 坐標為有理數(shù)的全體是 nR 的可數(shù)稠密子集； l? 是不可分空間。 167。 連續(xù)映射 167。 ：設(shè) ( , ) , ( , ), 0 ,X ( , ) ( T ,T ) ,ooooX X d Y Y d T X YxXd x x x d x xTx??????? 是 兩 個 度 量 空 間 ， 是 到 中 映 射 ，如 果 對 于 任 意 給 定 的 正 數(shù) ， 存 在 正 數(shù) 使 對中 一 切 滿 足 的 ， 有 則 稱 在 連 續(xù) 。167。 證明映射連續(xù)性的方法 定義法 鄰域法：對 oTx 的每一個 ? — 鄰域 U,必有 ox 的某個 ? — 鄰域 V使 TV U? , 其中 TV
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