泛函分析第七章習(xí)題解答1-25(編輯修改稿)
2025-04-21 05:24 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 3. X是度量空間，證明f是連續(xù)映射的充要條件是對每個實數(shù)c，集合和集合都是閉集。證明 設(shè) f是X上連續(xù)的實函數(shù)，又對每一實數(shù)c，G=（c，）是開集，于是 是開集。這樣= 是閉集。同理是閉集。 反之，若對每個實數(shù)c，和都是閉集，則和都是開集。設(shè)G是直線上的開集，則或，其中是G的構(gòu)成區(qū)間。不妨設(shè)于是是開集。因此f是連續(xù)的實函數(shù)。14. 證明柯西點列是有界點列。證明 設(shè){ }是X中的柯西點列。對10，存在N，使當(dāng)n，m時，令則對任意有。因此{ }是有界點列。15. 證明第一節(jié)中空間S，B（A），以及離散的度量空間都是完備的度量空間。證明 （1）S是完備的度量空間設(shè){ }是S中的柯西點列，對每一個固定的i，由于，因此對任意存在，當(dāng)時，對此，存在n，m時，因此，從而〈。這樣對固定的i，是柯西點列。設(shè)。令，故有，且對任意給定，存在，使。存在使時。于是當(dāng)時， +〈所以{}按S的距離收斂于x（2）B（A）是完備的度量空間設(shè)是B（A）中的柯西點列，任意，存在N，使當(dāng)n，m時。這樣對任意。因此對固定的t，{ }是柯西點列。設(shè)，由于n，m時，令，得，這樣，于是故x （A）， 且n〉N時。這就證明了按B（A）中距離收斂于x。（3）離散的度量空間（X，d）是完備的度量空間設(shè)是X中柯西點列，則對0,存在N，當(dāng)n，m是。特別對一切nN, ,于是nN是。因此，即（X，d）是完備的度量空間。 16. 證明 與C（0，1]的一個子空間等距同構(gòu)。 證明 若 ，定義， 若，則因此T到到（0，1]的子空間的一個同構(gòu)映射，即到（0，1]的一個子空間等距同構(gòu)。17. 設(shè)F是n維歐幾里得空間的有界閉集，A是F到自身中的映射，并且適合下列條件：對任何，有。 證明映射A在F中存在唯一的不動點。證明 定義F上的函數(shù)f（x）=d（Ax，x）。由于因此f是F上的連續(xù)映射，因F是有界閉集，必有，使。我們先證明，若，則。記，則，于是此與是f的最小值矛盾。故即=若是A的另一個
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