【文章內(nèi)容簡介】 為列緊, 因此全有界, 即存在有限的網(wǎng). 不難證明是的有限網(wǎng). 由此可以得知, 是全有界集, 又是完備的距離空間,因此是列緊集.第2章 練習題3. 設(shè)是有限維線性賦范空間，試證：上任意兩個范數(shù)都是等價的. 證明一: 不妨設(shè)是維的, 是其基底, 和是其上的任意兩個范數(shù). 因為“有限維線性賦范空間是完備的” (參見第一章,習題7)，：對于，定義.則容易驗證, 是Banach空間. 顯然, 對于任意的, 成立因此范數(shù)強于范數(shù), 根據(jù)范數(shù)等價性定理, 即知范數(shù)等價于范數(shù). 同理可證范數(shù)等價于范數(shù), 由此易知范數(shù)等價于范數(shù).證明二: 設(shè)和是上的任意兩個范數(shù), 因為是有限維線性賦范空間，因此和都是Banach空間(參見第一章,習題7), 在中再引入一個新范數(shù): 對于任意的, 定義. 非常容易地可以證明這個新范數(shù)也是完備的, 即也是Banach空間. 而新范數(shù)強于, 即, (). 因此, 根據(jù)范數(shù)等價性定理(58頁引理1), 新范數(shù)與等價, 即存在正數(shù), 使得 ().又因為新范數(shù)強于, 即, 因此得到, ().此即表明: 和等價.4. 設(shè)是有限維線性空間, 試證中的弱收斂等價于按范數(shù)收斂. 證明： 設(shè)是n維空間, 其一個基底, 中的范數(shù)記為. 則在中按范數(shù)收斂等價于按坐標收斂, 即: 若, 在基底 意義下可以表示為). 則可以斷言: ().由此便可以證明本題的結(jié)論, 即如果我們假設(shè)有并且在基底的意義下表示為),則. [充分性()] 設(shè).根據(jù)HahnBanach定理, 對于每一個, 存在泛函, 使得根據(jù)弱收斂的定義, 對于每一個,尤其是對于上面所取的, ()我們有,即, 序列每一個坐標收斂到的相應(yīng)的坐標:, ()因此, 根據(jù)中按范數(shù)收斂等價于按坐標收斂, 就有. [必要性()] (結(jié)論是一般性的, 即對于一般的賦范線性空間均有此性質(zhì)) 設(shè), 則對于任意的,當時, 均有, 即. 因此, 根據(jù)弱收斂的定義, 知道. 5．設(shè)是Banach空間， 由能否推出(1) 與至少有一個為零? 或(2) ?答：(1) 由不能推出與至少有一個為零. 反例如下: 定義分別為: 對于任意的,則容易驗證, 都是上的線性算子, 但都不是零算子, 而即. (注:在標準基底下, 分別對應(yīng)矩陣和, 而映射的復(fù)合映射對應(yīng)于矩陣的乘法運算=)(1) 由不能推出. 反例如下: 定義分別為: 對于任意的,則容易驗證, 都是上的線性算子, 且都不是零算子, 而即, 但,即. (注意, 也可以習題6為例. (注:在標準基底下, 分別對應(yīng)于矩陣和, 對應(yīng)于矩陣乘法=。 而映射和的復(fù)合映射對應(yīng)于矩陣的乘法運算=)6．定義上算子分別為試證是上的有界線性算子,但與不可交換, 即.證： 容易證明算子都有意義, 且是線性的. 對于任意的, 由的定義因此是有界的且.由的定義因此是有界的且.注意到 因此顯然如果我們?nèi)? 則注: 是乘法算子, 而是以為核的積分算子.7．設(shè)，定義上的算子為試證有界線性算子,并求的范數(shù).證：因為, 其范數(shù)定義中的下確界可以達到, 即存在零測集, 使得.(i) 算子有意義. 這也只需證明對于, 即可. 事實上, 容易得知是可測函數(shù), 且由此得知. (ii) 是線性的. 事實上，對于以及任意的數(shù)和， 所以是線性算子. (iii) 對于任意的, 由的定義因此是有界的且.反之, 我們要證明. 不失一般性, 可假設(shè). 因為范數(shù)中的下確界可以達到, 不妨設(shè)有零測集, 使得.對于任意的, 由上確界的定義,存在正測度的子集,使得, .(若不然, 使得的點所組成的集合是零測集, 在上恒有,此與的定義相矛盾). 定義則且.根據(jù)算子范數(shù)的性質(zhì), 我們可以得到鑒于的任意性, 我們最終得到.8．定義上的算子為.試證有左逆, 但無右逆.證： (i) 的左逆算子是左位移算子: . 事實上, 對于任意的,即, 因此有左逆算子為.(ii) 因為不是滿射, 因此無右逆算子. 若不然, 設(shè)存在右逆算子是, 則. 但是, 對于例如,記, 則由此產(chǎn)生的矛盾表明是不可能的. 9．試證微分算子有右逆, 但無左逆.證： (i) 的右逆算子是積分算子: 即對于任意的. 顯然, 因為對于任意的(ii) 因為不是單射, 因此無左逆算子. 若不然, 設(shè)存在左逆算子是, 則. 但是, 對于例如, 有(線性算子將零元映射為零元). 由此產(chǎn)生的矛盾表明是不可能的.10． 設(shè)是Banach空間, 是的線性閉子空間. 映射定義為 (), 試證: 是開映射. 證： 已知商空間是賦范線性空間(見上一章第九題), 其中范數(shù)定義為. 根據(jù)同態(tài)定理, 自然映射是滿射, 因此根據(jù)Banach開映射定理, 只要能證明是Banach空間, 則是開映射. 如下證明商空間的范數(shù)是完備的. 設(shè)是含于中在范數(shù)意義下的Cauchy 列, 即, 當 . (i) 包含一個子列使得所對應(yīng)的子列成為中的Cauchy 列. 事實上, 因為是Cauchy 列, 由此得知存在一個正整數(shù)的子列, 滿足, 且.對于每一個, 根據(jù)下確界的定義, 存在, 使得(不失一般性, 可設(shè)).由此我們斷言是中的Cauchy列, 因為對于任意的正整數(shù). (ii) 既然是中的Cauchy列, 因此存在某個, 使得當時. 進而, 當時,即. (iii) Cauchy 列有一個子列收斂, 則其自身必是收斂的, 即, 即得是完備的, 所以是Banach空間. 18 有界線性算子與閉算子有什么關(guān)系？解：設(shè)是賦范線性空間, 是線性算子. (i) 如果并且是的閉子空間, 則, 即是閉線性算子. 證明: 設(shè)且,. 因為是的閉子空間, 故, 利用, 即是連續(xù)的, 有. 根據(jù)極限的唯一性, 得到, 因此是閉算子. (ii) (閉圖像定理) 如果是Banach空間, 是閉算子, 并且, 則.(iii) 閉算子可以是無界算子, 例如微分算子, 其中, . 則, 但本身是無界算子. 19．設(shè)是線性賦范空間，是中線性無關(guān)的序列. 試證, 存在一列, 使得且證：記, 則是的閉子空間, 且. 根據(jù)HahnBanach延拓定理(參見47頁推論2)知, 存在使得, 且, .因此顯然有或(參見47頁推論2后面的注)存在使得, 且, .如果定義, 則顯然仍然是線性無關(guān)的, 且.因此也顯然有20. 設(shè), 定義上的泛函為, 證明.證明： 顯然對于任意的都有意義, 因此是上的一個泛函. 又對于任意的和任意的數(shù), 容易驗證：　因此是上的一個線性泛函. 進而由此可以得知, 線性影射是上的一個有界線性泛函, 即 , 且.21. 設(shè)序列使得對于任意, 收斂, 試證(1) 。(2) 記, 則, 且.解：記中的范數(shù)為. 進而可知是Banach空間. (i) 考慮由的前有限項所組成的中的點列: 其中的每一個可以視為只有有限個分量不為零的無窮維向量, 當然屬于. 對應(yīng)于每一個這樣的向量我們定義一個對應(yīng)的上的泛函如下: , 其中,().(ii) 不難證明是線性泛函(證明略)。(iii) 可斷言是有界的泛函, 事實上我們有即是有界線性泛函, 且, (.)(iv) 對于每一個固定的，(), 我們斷言: .事實上, 不妨設(shè)且 (對于某個). 可取一個特殊的, 其中的每一個分量按照下面的形式定義: , (),且對于，定義. 不難計算. 進而根據(jù)的定義, 可以得到(v) 考慮上的有界線性泛函族: . 對于每一個, 由所給的條件, 級數(shù)的收斂性蘊涵數(shù)列當時是收斂的, 故是有界集: . (點點有界)因此根據(jù)一致有界原理(這里我們利用了事實：和都是Banach空間), 我們知道是一致有界的, 即. (2) 由所給的定義: 對于任意的,級數(shù) 均收斂, 由此知道上面所定義的泛函有意義,因此確實是上的泛函. 對于任意的, 也收斂, 根據(jù)收斂級數(shù)的性質(zhì), 我們有此即表明具有線性性質(zhì). 進而, 我們有此即表明是有界的， 且.反之, 仿照(1), 選取, , (),且對于，定義. 不難計算.進而, 注意到的任意性, 我們立即得到. 綜上可得.21. 設(shè)序列使得對于任意, 收斂, 試證(1) 。(2) 記, 則, 且.解：記中的范數(shù)為. 進而可知是Banach空間.(1) [解法二]不用一致有界原理的反證法: 設(shè)題目的條件滿足但結(jié)論不成立, 即, 因此.故對于每