應(yīng)用泛函分析習(xí)題解答-展示頁
2025-04-03 01:39本頁面
【正文】 。證明：1）在中稠密，存在，使得，存在，使得在中稠密。解：；；的孤立點。12．設(shè)。特別有，因此取，所以有且，故，所以。此外，設(shè)。2）。 （1）而由，都有，此與（1）式矛盾，故，所以。此外，設(shè)，而。證明：1）。綜上所述，則表明的閉包是包含的最小閉集。2）設(shè)是包含的最小閉集，且。所以。證明：1）設(shè)是含于的最大開集，則。綜上所述，有。若中有無窮項互異，則；否則有無窮多相取同一個值，則，由此可知：，則。8．證明。7．舉例說明無窮多個閉集之并不一定是閉集。解：必要性：，使得。充分性：，使得是的外點。充分性：，且，使得，使得是的孤立點。充分性：，使得，使得是的內(nèi)點。定義到的距離為：證明：1) 是的內(nèi)點；2) 是的孤立點，且；3) 是的外點。依次類推，有，所以對任意的，都有線性無關(guān)，即。則。證明：取，只需證線性無關(guān)。當(dāng)視為實線性空間時，可令基為，則對任意的，有，所以。證明酉空間的維數(shù)為，并問當(dāng)視為實線性空間時，其維數(shù)是多少？證明：設(shè)，則有。此時若是無窮集，則稱是無窮維的；若是有限集，則稱是有限維的，并定義的維數(shù)為中所含有的元素個數(shù)。9．（Hamel基）設(shè)是線性空間的非空子集，若中任意多個元素都是線性無關(guān)的，則稱是線性無關(guān)的。由于絕對收斂，則它的一般項。取，則有，令，則。泛函分析與應(yīng)用國防科技大學(xué)第 一 章第 一 節(jié)3．設(shè)是賦范空間中的Cauchy列，證明有界，即。證明：，當(dāng)時，有，不妨設(shè)，則。6．設(shè)是Banach空間，中的點列滿足（此時稱級數(shù)絕對收斂），證明存在，使（此時記為，即）.證明：令，則。因此，總，當(dāng)時，有，所以是中的Cauchy列，又因為是Banach空間，則必存在，使得。若是線性無關(guān)的，且，則稱是是的一個Hamel基。通常用表示的維數(shù)，并約定當(dāng)時，可以證明任何線性空間都存在Hamel基。令，則對任意的，必有，因此是空間的基，則。10．證明，這里。為此對，令。因此必有，求該式求導(dǎo)后有。第 二 節(jié)2.（點到集合的距離）設(shè)是的非空子集。解：1）必要性：是的內(nèi)點，使得，都有。2）必要性：是的孤立點，且，使得，且，使得，且。3）必要性：是的外點，使得，都有。3．設(shè)是中的非空閉集，證明：。充分性：，使得。解：。證明：設(shè)，使得。另一方面，由于且，所以。9．證明：1）的內(nèi)部是含于的最大開集，即；2）的閉包是包含的最小閉集，即。設(shè)，使得，使得。綜上所述，則表明的內(nèi)部是含于的最大開集。設(shè)，使得，使得，所以。10．利用習(xí)題9的結(jié)論證明：1），2）。是開集，而由習(xí)題9的結(jié)論可知，是含于的最大開集，所以。由，使得，使得。綜上所述，有。這表明是包含的閉集，而由習(xí)題9的結(jié)論可知，是包含的最小閉集，所以。由，都有，都有。綜上所述，有。試寫出，及的孤立點的全體。13．設(shè)、均是的子集，且，證明：1）若在中稠密，則在中稠密 ；2）若不中稠密，則不在中稠密。2）不在中稠密和，使得和，使得不在中稠密。證明：設(shè)；另一方面，設(shè)。4．設(shè)，證明：1）在處連續(xù)只要滿足，則；2）在處連續(xù)對于任意，存在，使。再由在處連續(xù)對于任意，存在，使得當(dāng)。充分性：對于任意，存在，使得當(dāng)時，有；對于任意，存在，使得當(dāng)時，有，顯然對于特定的，也存在，使得當(dāng)時，有。2）必要性：在處連續(xù)對于，存在，使得當(dāng)時，有。充分性：設(shè)，由條件可知，存在，使得當(dāng)時，都有，由連續(xù)的定義可知，在處連續(xù)。證明：1），即的任何領(lǐng)域內(nèi)既有的點，又有的點；2）且。由，使得，存在，使得當(dāng)時，有的任何領(lǐng)域內(nèi)既有的點。充分性：顯然成立。由，使得，而。充分性：由，使得。所以， 。已知：，和是中互不相交的非空閉集。9．證明開集總可以表示為可列個閉集之并，而閉集總可以表示為可列個開集之交。令，則是開集，且，于是。因此。因此閉集總可以表示為可列個開集之交。顯然是開集，是閉集，這表明開集總可以表示為可列個閉集之并。證明：是線性算子。）證明：令為（1）式。此外利用（1）式
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