應(yīng)用泛函分析習(xí)題解答(完整版)
【正文】 7．設(shè)是賦范空間的真閉子空間，證明是中稀疏集。下面來(lái)證。于是使，所以一致收斂到。下證此范數(shù)滿足三角不等式。由在中稠密，使得。顯然是開(kāi)集，是閉集，這表明開(kāi)集總可以表示為可列個(gè)閉集之并。9．證明開(kāi)集總可以表示為可列個(gè)閉集之并，而閉集總可以表示為可列個(gè)開(kāi)集之交。由，使得，而。充分性：設(shè)，由條件可知，存在，使得當(dāng)時(shí)，都有，由連續(xù)的定義可知，在處連續(xù)。4．設(shè)，證明：1）在處連續(xù)只要滿足，則；2）在處連續(xù)對(duì)于任意，存在，使。試寫出，及的孤立點(diǎn)的全體。綜上所述，有。設(shè)，使得，使得，所以。另一方面，由于且，所以。3．設(shè)是中的非空閉集，證明：。第 二 節(jié)2.（點(diǎn)到集合的距離）設(shè)是的非空子集。令，則對(duì)任意的，必有，因此是空間的基，則。6．設(shè)是Banach空間，中的點(diǎn)列滿足（此時(shí)稱級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂），證明存在，使（此時(shí)記為，即）.證明：令，則。由于絕對(duì)收斂，則它的一般項(xiàng)。當(dāng)視為實(shí)線性空間時(shí)，可令基為，則對(duì)任意的，有，所以。定義到的距離為：證明：1) 是的內(nèi)點(diǎn)；2) 是的孤立點(diǎn)，且；3) 是的外點(diǎn)。解：必要性：，使得。綜上所述，有。綜上所述，則表明的閉包是包含的最小閉集。2）。解：；；的孤立點(diǎn)。證明：1）必要性：若，且對(duì)于任意，存在，使得當(dāng)時(shí)，有。5．（集合的邊界）稱集為集合的邊界，記為，并稱中的點(diǎn)為的邊界點(diǎn)。由，使得，而。證明：（1）設(shè)是閉集，不妨設(shè)。10．設(shè)均是實(shí)賦范空間，是連續(xù)映射，且滿足可加性：對(duì)任意，恒有。因此。設(shè)，則。當(dāng)時(shí)有，所以。設(shè)，按的定義必有，則；另一方面，設(shè)，則必存在，使得，按的定義有，所以。證明：由習(xí)題6的結(jié)論可知：如果不是稀疏集，則，使得。則， ，使得當(dāng)時(shí)，有。又因?yàn)槭情]集，則——（2）式。使得。由是緊集，則的子列，使得，且。6．設(shè)是中一列不增的非空緊集，證明。7．設(shè)是中的非空緊集，映射連續(xù)，證明是中的緊集，即緊集的連續(xù)像仍是緊集。所以在上一致連續(xù)。11．設(shè)是中的非空緊集，證明存在使。由壓縮映射原理可知：映射存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)。所以在上有唯一的不動(dòng)點(diǎn)。所以是上的壓縮映射，又因?yàn)槭峭陚涞模栽诖嬖谖ㄒ坏牟粍?dòng)點(diǎn)。所以為上的壓縮映射，又是完備的，所以在上有唯一的不動(dòng)點(diǎn)。解： 。（4），所以；又當(dāng)時(shí)，故。則，由的任意性，所以。6．設(shè)，定義為：。7．證明上的非零線性泛函不是連續(xù)的等價(jià)于在中稠密。證明：容易驗(yàn)證按上的范數(shù)成為賦范空間，下面要證明它是閉的。3．設(shè)，與均是的非空子集，且其中一個(gè)是閉集，另一個(gè)是緊集，證明存在，使。證明：由Ｐ49頁(yè)的推論1可知：存在，使得，且。充分性：同樣用反證發(fā)。而由的構(gòu)造可知：。同理可得：。設(shè)，且。又根據(jù)逆算子定理，也是有界的。由解的唯一性可知：。正定性和絕對(duì)齊性是顯然的。――（１）式。顯然有。充分性：由且。由此可知：由（１）式可知：。綜上所述。此與矛盾，故。證明：已知與是等距同構(gòu)的，所以，使得。）證明：令為。則。所以由（１）式可得：。，有，而由構(gòu)造方法可知：。）證明：5．設(shè)是Hilbert空間的子空間，證明。綜上所述。這表明是閉集。則。證明也是自伴算子。證明：1）2）。因此有，不收斂于，這與矛盾。第 三 節(jié)2． 設(shè)在上－可微，證明在處連續(xù)等價(jià)于：對(duì)任何，存在，當(dāng)，時(shí)。）2． 設(shè)在上非負(fù)連續(xù)，且，證明積分方程在上必有連續(xù)解。由于有界，則有界，所以有界。由此可知：，當(dāng)，有。所以，這表明是連續(xù)的。所以是等度連續(xù)的。顯然是非空有界閉凸集。此外當(dāng)，時(shí)。1）3）。設(shè)，當(dāng)時(shí)。所以也是自伴算子。2． 設(shè)定義為。證明：完備完全。（提示：利用投影定理。）證明：由于。另一方面。解：取。3．設(shè)是內(nèi)積空間中的點(diǎn)列，且對(duì)一切。所以。所以。證明：。第 六 節(jié)2．設(shè)是賦范空間的子空間。證明：。證明：。由此可知，是閉算子。令（１）式中，則。設(shè)，則。根據(jù)閉圖像定理，則。綜上所述，與范數(shù)等價(jià)。且中的收斂等價(jià)于一致收斂，所以。證明：由習(xí)題4的結(jié)論可知：，又由于，所以。7．設(shè)
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