應(yīng)用泛函分析教案2-文庫吧資料
2025-04-22 22:48本頁面
【正文】 個數(shù)：01，. 、成立 (1)則稱是到中的壓縮映照(簡稱壓縮映照). Th 1.(壓縮映照定理) 設(shè)是完備度量空間，是上的壓縮映照，則有且只有一個不動點(即方程有且只有一個解). 證： 固定，令 =，==，==， 則是中的柯西點列， 實因 ==. (2) 由三點不等式，當時，()=. 因為01，所以，所以 () (3)所以當，時，. 所以是中的柯西點列. 由完備性， 存在，. . 由三點不等式和條件(1)，有 0 (). 所以=0，所以 =. 往證唯一性. 若又有，. ，則由條件(1)，得=，0. 又因為0，所以=0，所以=. 證畢. Th 2. 設(shè)函數(shù)在帶狀域，中處處連續(xù)，且處處有關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)，若存在常數(shù)和， 滿足 ，0， 則方程 =0 在區(qū)間上必有唯一的連續(xù)函數(shù)作為解：0，. 證 在完備度量空間中作映照，. ，有=. 因為連續(xù)，所以也連續(xù)，所以. 所以是到自身的映照. 取，== =(01)， 0=1. 令=1，則01，且 . 所以 ，所以. 所以是壓縮映照. 由Th 1，存在唯一的，滿足，即 0，. 證畢. Th 3.(Picard) 設(shè)是矩形 =上的二元連續(xù)函數(shù)，設(shè)，. 又在上關(guān)于滿足Lipschitz條件，即存在常數(shù)，.、有 (4)則方程 = 在區(qū)間=上有唯一的滿足條件=的連續(xù)函數(shù)的解，其中 . (5) 證 連續(xù)函數(shù)空間是完備度量空間，用表示中滿足條件 || () (6)的連續(xù)函數(shù)全體所成的子空間，顯然是閉子空間. 由167。 教學(xué)內(nèi)容(或課題)： 目的要求： 使學(xué)生掌握度量空間的完備化定理的條件、結(jié)論及其證明方法. 教學(xué)過程： Der 1 設(shè)(,)，(,)是兩個度量空間，若存在到上的保距映照(,，有(,)=(,))，則稱(,)和(,)等距同構(gòu)，此時稱為到上的等距同構(gòu)映照(既映上又保距). 等距同構(gòu)映照是11映照. 實因設(shè),，且，則因(,)0及(,)=(,)0，知. 在泛函分析中往往把兩個等距同構(gòu)的度量空間不加區(qū)別而視為同一個度量空間. Th 1 (度量空間完備化定理) 設(shè)=(,)是度量空間，那么一定存在一完備度量空間=(,)，使與的其個稠密子空間等距同構(gòu)，并且在等距同構(gòu)意義下是唯一的，即若(,)也是一完備度量空間，且與的其個稠密子空間等距同構(gòu)，則(,)與(,)等距同構(gòu). 證明 分4步完成.(1)構(gòu)造=(,).令為中柯西點列=全體，對中任意兩個元素=和=，若 =0， (1)則稱與相等，記為=，或=. =，=，定義 (,)=. (2) 首
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