泛函分析小論word版-文庫吧資料
2025-01-13 16:48本頁面
【正文】 線性空間彼此拓撲同構(gòu)。 注意： x 是 x 的連續(xù)函數(shù) || || 0 ( , ) 0nnx x d x x? ? ? ? （ 誘 導(dǎo) 距 離 ） 167。 167。 例： nR 按自身定義的加法和數(shù)乘成線性空間 [a,b]C 按自身定義的加法和數(shù)乘成線性空間 空間 ( 0)plp? 按自身定義的加法和數(shù)乘成線性空間 167。 線性空間 167。如果 ?常數(shù) m 和()oXx (, )xd W 稠密 ( , )xd V 稠密 M ，滿足 39。 定理 2（隱函數(shù)存在定理）設(shè)函數(shù) ( , )f x y 在帶狀域 ,a x b y? ? ?? ? ? ? 中處處連續(xù)，且處處有關(guān)于 y 的偏導(dǎo)數(shù) 39。 167。 167。1 ：設(shè) ( , )X X d? 是度量空間，那么存在唯一的完備空間 ( , )X X d? ，使 X 為 X 的稠密子空間。 （其中：若 ( , ) = ( , )d Tx Ty d x y，稱 ( , )X X d? 與 ( , )Xd等距同構(gòu)。 例： [a,b]C 是完備度量空間； 2l 是完備度量空間； nR 是完備的度量空間； 實系數(shù)多項式全體 [ , ]Pab ， [ , ]Pab 作為 [a,b]C 的子空間不是完備度量空間； 167。 相關(guān)結(jié)論 Q全體按絕對值距離構(gòu)成的空間不完備 柯西點列不一定收斂，但是度量空間中每一個收斂點列都是柯西點列 柯西點列一定是有界點列 定理：完備度量空間 X 的子空間 M 是完備空間的充要條件是 M 為 X 中的閉子空間。 定義：設(shè) ( , )X X d? 是度量空間， ? ?nx 是 X中點列，如果對 0???，?正整數(shù) ()NN?? ,使當(dāng) ,n m N? 時，必有 ( , )nmd x x ??，則稱??nx 是 X 中的柯西點列，如果度量空間 ( , )Xd中每個點列都在 ( , )Xd中收斂，那么 稱 ( , )Xd是完備的度量空間。 167。 證明：設(shè) G 是 Z 中開集，因 g 是 Y 到 Z 的連續(xù)映射 , 1gG? 是 Y 中開集， 又因 f 是 X 到 Y 中的連續(xù)映射， 1 1()f g G? 是 X 中的開集， 即 1(g f) G 是 X 中的開集，即 (g f) 連續(xù)。 167。 極限觀點（定理一）： , T ( )n o n oT x x x Tx n? ? ? ? ?連 續(xù) 則 定理二 :度量空間 X到 Y中的映射 T是 X上連續(xù)映射 ? Y 中任意開集 M 的原像 1TM? 是 X 中的開集。167。 連續(xù)映射 167。 例子 n維歐氏空間 nR 是可分空間； 坐標為有理數(shù)的全體是 nR 的可數(shù)稠密子集； l? 是不可分空間。 稠密子集與可分空間 :設(shè) X 是度量空間， E 和 M 是 X 中兩個子集，令M M M?表 示 的 閉 包 ， 如 果 E,那么稱集 M在集 E中稠密，當(dāng) E=X時，稱M為 X的一個稠密子集，如果 X有一個可數(shù)的稠密子集，則稱 X是可分空間。 同樣的類似于 nR ，度量空間中收斂點列的極限是唯一的。 ，稠密集，可分空間 167。 度量空間的進一步例子 例： 離散的度量空間 ( , )Xd，設(shè) X 是一個非空集合， ,x y X??，當(dāng)1,( , )0 , =xyd x yxy??? ??當(dāng)當(dāng)。 【理解】度量空間就是：集合 +距離；（滿足非負性、對稱性及三點不等式） 其實度量空間是在實變函數(shù)中接觸的知識，但其在泛函分析學(xué)科中的重要性，我們可以通過度量空間的進一步例子來感受。 1
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