應(yīng)用泛函分析習(xí)題解答-文庫吧資料
2025-03-31 01:39本頁面
【正文】 時，故。（3），所以；又當(dāng)時，故。（2），所以；又當(dāng)時，故。（1），所以；又當(dāng)時，故。解： 。3．定義為，再定義為，試問與是否可換（即）？并求，及。下證必要性。第 七 節(jié)2．設(shè)是上的實函數(shù)，對，令，證明等價于。所以為上的壓縮映射，又是完備的，所以在上有唯一的不動點。利用數(shù)學(xué)歸納法：當(dāng)時，設(shè)，則：。在利用定理4。然后用歸納法說明。所以是上的壓縮映射，又因為是完備的，所以在存在唯一的不動點。令，則。則。（提示：令。所以在上有唯一的不動點。則對和有：。方程組等價與。證明無窮代數(shù)方程：，對任何必存在唯一解。由壓縮映射原理可知：映射存在唯一的不動點。6．已知，證明函數(shù)方程在上存在唯一的連續(xù)解。上述推導(dǎo)過程中，（1）應(yīng)用了許瓦爾茲不等式，（2）利用了條件。顯然，證明解的唯一性等價于證明映射有唯一的不動點。證明代數(shù)方程組對任何都存在唯一解。再由，根據(jù)習(xí)題9的結(jié)論可知：必存在，使得。11．設(shè)是中的非空緊集，證明存在使。由此可知：。由是緊集，則及，使得。證明：由習(xí)題 7結(jié)論可知，是緊集，則必有界。所以在上一致連續(xù)。由于是緊集中的序列，則必存在子列，由（１）式可知。當(dāng)，且時，恒有。8．設(shè)是中的緊集，映射連續(xù)，證明在上一致連續(xù)，即對于任何，存在，當(dāng)，且時，恒有。7．設(shè)是中的非空緊集，映射連續(xù)，證明是中的緊集，即緊集的連續(xù)像仍是緊集。由收斂序列的極限與其子列的極限一致，則。由收斂序列的極限與其子列的極限一致，則，且。再由題意知，則。6．設(shè)是中一列不增的非空緊集，證明。因此，都存在它的子列，且。則對任意整數(shù)，都有。所以緊集的有限并是緊集。由是緊集，則的子列，使得，且。證明：設(shè)是一列有限的緊集，記。證明：是緊集，子列，使得，且，子列，使得，且是緊集。又式閉集，則，所以是緊集。使得。證明：設(shè)是列緊集。由收斂序列的極限與其子列的極限一致，可知，由此可知是閉集。設(shè)是緊集。又因為是閉集，則——（2）式。證明：設(shè)是緊集，且是閉集。則是完備子集。因此當(dāng)時，也有。則， ，使得當(dāng)時，有。第 五 節(jié)1．證明緊集必是完備子集。證明：用表示次數(shù)不超過的多項式，則是的真閉子集，由習(xí)題7的結(jié)論可知在是稀疏的。由此可知：是中稀疏集。證明：由習(xí)題6的結(jié)論可知：如果不是稀疏集，則，使得。取，使得，所以有。6．設(shè)是賦范空間中的閉集，且不是稀疏集，證明必包含中某個閉球。所以必是第一綱集。設(shè)，按的定義必有，則；另一方面，設(shè)，則必存在，使得，按的定義有，所以。令，則也是稀疏的。5．設(shè)、是賦范空間的子集，且，證明：（１） 若是第二綱集，則必是第二綱集；（２） 若是第一綱集，則必是第一綱集；證明：先證明（２）。最終有，所以。當(dāng)時有，所以。所以是中的Cauchy列。則，當(dāng)時，有，即――（１）式。（２）證明完備性。設(shè)，則。正定性與絕對齊性是顯然的。證明它是Banach空間。第 四 節(jié)2．設(shè)表示定義于上“直至階連續(xù)導(dǎo)數(shù)”的函數(shù)的全體，按通常函數(shù)的加法與數(shù)乘，是線性空間。因此。又，且，有，有，令此式為（4）式。則在（1）式中，當(dāng)時，有；當(dāng)時，有，令此式為（2）式。（提示：注意到非零有理數(shù)形如（，與互質(zhì)），先對有理數(shù)說明，然后利用連續(xù)性。10．設(shè)均是實賦范空間，是連續(xù)映射，且滿足可加性：對任意，恒有。（2）利用（1）中的結(jié)論以及de Morgan公式，可得：。綜上所述。另一方面，設(shè)，即。證明：（1）設(shè)是閉集，不妨設(shè)。驗證：由于，且當(dāng)時，；時。6．驗證例4中構(gòu)造的泛函滿足題給條件。由，使得。由，使得，而。2） 必要性：且。由存在，且，存在，使得當(dāng)時，有的任何領(lǐng)域內(nèi)既有的點。證明：1） 必要性：且。5．（集合的邊界）稱集為集合的邊界，記為，并稱中的點為的邊界點。所以對于，都有，因此。因此取，對于任意的，存在，使得當(dāng)，有，所以在處連續(xù)。若取，則表明對于任意，存在，當(dāng)時，有，因此。證明：1）必要性：若，且對于任意，存在，使得當(dāng)時，有。綜上所述。第 三 節(jié)2．設(shè)，且，證明：
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