泛函分析第七章習(xí)題解答1-25-文庫吧資料
2025-03-31 05:24本頁面
【正文】 即A x’= x’。由于=A=A, A也是的不動(dòng)點(diǎn)。證明 因，則必有N，使。故即=若是A的另一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，則，矛盾。我們先證明，若，則。證明 定義F上的函數(shù)f（x）=d（Ax，x）。17. 設(shè)F是n維歐幾里得空間的有界閉集，A是F到自身中的映射，并且適合下列條件：對(duì)任何，有。 16. 證明 與C（0，1]的一個(gè)子空間等距同構(gòu)。特別對(duì)一切nN, ,于是nN是。這就證明了按B（A）中距離收斂于x。因此對(duì)固定的t，{ }是柯西點(diǎn)列。于是當(dāng)時(shí)， +〈所以{}按S的距離收斂于x（2）B（A）是完備的度量空間設(shè)是B（A）中的柯西點(diǎn)列，任意，存在N，使當(dāng)n，m時(shí)。令，故有，且對(duì)任意給定，存在，使。這樣對(duì)固定的i，是柯西點(diǎn)列。15. 證明第一節(jié)中空間S，B（A），以及離散的度量空間都是完備的度量空間。對(duì)10，存在N，使當(dāng)n，m時(shí)，令則對(duì)任意有。14. 證明柯西點(diǎn)列是有界點(diǎn)列。不妨設(shè)于是是開集。 反之，若對(duì)每個(gè)實(shí)數(shù)c，和都是閉集，則和都是開集。這樣= 是閉集。13. X是度量空間，證明f是連續(xù)映射的充要條件是對(duì)每個(gè)實(shí)數(shù)c，集合和集合都是閉集。這樣是X中 的開集，這就證明了g。證明 設(shè) G是Z中開集，因g是Y到Z中的連續(xù)映射，所以是Y中開集。這就證明 了。設(shè)。證明 若，則由于，為閉集，必有，使，令，類似，其中，顯然是開集，且。這就證明了是X上連續(xù)函數(shù)。由于x與對(duì)稱性，還可得。取。10. X為距離空間，A為X中子集，令證明是X上連續(xù)函數(shù)。事實(shí)上，若，則所以。證明 若，必有，使，因是開集，必有某自然數(shù)n，使。這樣必有某，使，于是此與矛盾，因此B[a，b]不是可分空間。 倘若B[a，b]是不可分的，則有可數(shù)稠密子集，對(duì)任意[a，b]，必有某，即。證明B[a，b]不是可分空間。令 則且，事實(shí)上，若，則有，所以存在E中的點(diǎn)x使，F(xiàn)中點(diǎn)y使，于是，此與矛盾。7. 設(shè)E及F是度量空間中的兩個(gè)集，如果，證明必有不相交開集O及G分別包含E及F。則因此當(dāng)時(shí)。定義
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