euclid空間上的線性泛函的內(nèi)積刻畫及推廣-在線瀏覽
2024-10-22 18:26本頁面
【正文】 ) , ff x x y? . 而 fy 的唯一性通過引理 3 是顯然的 . 證畢 . 由定理 2 知道， n 維 Euclid 空間上的線性泛函都能用內(nèi)積來刻畫，再結(jié)合定理 3 知該泛函為零函數(shù)或者其零空間的維數(shù)為 1n? ，這一點在幾何空間 3R 中是有比較明確的幾何意義的（前面已分析） . Euclid 空間上不能用內(nèi)積刻畫的線性泛函的存在性 在上一段我們得到定理 3 這個重要結(jié)論，下面利用定理 3 來說明 Euclid 空間上確實存在線性泛函不能用內(nèi)積來刻畫 . 設(shè) 01{ | [ 0 , 1 ] 。 }nniV a a x a x x a R i n n ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ，則 V 按多項 9 式函數(shù)的加法和數(shù)乘構(gòu)成實數(shù)域 R 上的線性空間，對于 ()px ， ()qx V? ，定義內(nèi)積 10, ( ) ( )p q p x q x dx? ?，易知 V 按此內(nèi)積構(gòu)成一個 Euclid 空間，對于 ()px V? ，我們再定義 ( ( )) (0)f p x p? ，不難驗證 f 是 V 上的線性泛函，下面我們就來證明 f不能用內(nèi)積來刻畫 . 事實上，根據(jù) f 的定義知 ()kx N f? ， 1k? ， 2， 3， . 現(xiàn)設(shè) 01( ) ( )nnp x a a x a x N f ?? ? ? ? ? 則有 10, ( ) ( ) 0kkx p x x p x d x???， 1k? ， 2， 3， ， 1n? . （ 3） 由（ 3）我們可以得到關(guān)于 01, , , na a a 的齊 次線性方程組 0 1 10 1 10 1 11 1 102 3 21 1 103 4 31 1 102 3 2 2nnna a ana a ana a an n n???? ? ? ? ?? ??? ? ? ? ??????? ? ? ? ?? ? ? ?? （ 4） 該齊次線性方程組的系數(shù)行列式為 Cauchy 行列式 1 1 12 3 21 1 13 4 31 1 12 3 2 2nnn n n??? ? ? 其值為2111,1()0()i j nnijjiij? ? ? ????????，于是齊次線性方程組（ 4）只有零解，即有 0 1 1 0na a a ?? ? ? ? 由此得到 ( ) 0px? ，所以 ( ) {0}Nf? ? . 又由于 ()N f V? ，因此 ( ) ( )V N f N f ???，從而根據(jù)定理 3 知 f 不能用 V 的內(nèi)積來刻畫 . 10 雙線性函數(shù)的內(nèi)積刻畫 本文在上面探討了用內(nèi)積來刻畫 Euclid 空間上的線性泛函的問題，下面我們對雙線性函數(shù)也作類似的探討 . 設(shè) f 是 Euclid 空間 V 上的雙線性函數(shù)，對于 yV?? ，我們定義 yf ： ( ) ( , )yf x f x y? ， xV? . （ 5） 易知 yf 是 V 上的線性泛函，通過這一點，我們可以得到下面的定理 . 定理 4 設(shè) f 是 Euclid 空間 V 上的雙線性函數(shù)，對于 yV? ， yf 是如（ 5）式所定義的 V 上的線性泛函 .若對 yV?? ， yf 能用 V 的內(nèi)積來刻畫 ，則存在 V 的唯一線性變換 ? ，使得 ,x y V??，有 ( , ) , ( )f x y x y?? . 證明 由于 yV?? ， yf 能用 V 的內(nèi)積來刻畫，結(jié)合引理 3 知，存在 V 中唯一元素yfz，使得 xV?? ，有 ( ) ,yyff x x z?，利用此我們可以定義 ? ： ()y? ? yfz，這樣我們就有 ( ) , ( )yf x x y?? .下面我們證明 ? 是 V 的線性變換 . 首先由yfz的唯一性知 ? 是 V 到 V 的映射；而 ,x y z V??與 kR?? ， 一方面有： ( ) ( , )yzf x f x y z? ??( , ) ( , )f x y f x z?? ( ) ( )yzf x f x?? , ( ) , ( )x y x z???? , ( ) ( )x y z???? ， 另一方面有： ( ) , ( )yzf x x y z?? ?? ， 所以 , ( )x y z? ? , ( ) ( )x y z???? ， 即 , ( ) ( ) ( ) 0x y z y z? ? ?? ? ? ? . 取 ( ) ( ) ( )x y z y z? ? ?? ? ? ?，代入上式得 ( ) ( ) ( )y z y z? ? ?? ? ? ， 同理可證 ( ) ( )ky k y??? . ? ? 是 V 的線性變換 . 下面我們來證明 ? 的唯一性 . 假如還有 V 的線性變換 1? ， 使得： ,x y V??，有 1( , ) , ( )f x y x y?? . 則： ,x y V??，有 1, ( ) , ( )x y x y??? ，即 1, ( )
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