【正文】 （ K+1） n。 （ 6） 各解釋變量之間不存在嚴(yán)格的線性關(guān)系 。 nIuuE 2, )( ??? ????????????????????????????????22122212121212121..... ......... .......... .......... .......... ...... .......nnnnnnn uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuunIuuE 2)( ???10 （ 3） X 是 是一個非隨機(jī)元素矩陣 。 殘差為： k??? ?,....,?,? 10 KtKtttttXXYYYeβ?....β???110 ???????? tktkttt XXXY uβ...βββ 22110 ??????12 要使殘差平方和 為最小 ， 則應(yīng)有： 我們得到如下 K+1個方程 （ 即正規(guī)方程 ） ： ? ? 21102 β?...β??? ? ?????? KtKttt XXYeS ? 0?...,0?,0?10?????????KSSS???13 按矩陣形式，上述方程組可表示為： ???????????????????????????????????????????????tktKtKtktktttKttKtttttKttKtttKtKtYXXXXXYXXXXXXYXXXXXYXXn211022121201121110110β..... .ββ..... ...... ...... ...... .β..... .βββ..... .βββ..... .ββ14 = )39。XY 即 YXXX 39。( ????????????????????????2112111.....................KttKtKtKttttKttXXXXXXXXXXn?????????????????Kβ...ββ10????????????????????????nKnKKnYYYXXXXXX.....................1...1121211121115 上述結(jié)果 ， 亦可從矩陣表示的模型 出發(fā) ， 完全用矩陣代數(shù)推導(dǎo)出來 。 由上述結(jié)果 ， 我們有 ?????? β)?( XYYX? ??????????? βββ2 XXYXYYS0β)( ????SYXXX ??? ?β YXXX ??? ?? 1)(β18 YXXX ??? ?? 1)(β三 . 最小二乘估計量 的性質(zhì) 我們的模型為 估計式為 1． 的均值 ?β? ?? β? XY uX ?? ?)uβ()( 1 ???? ? XXXX u)(β)( 11 XXXXXXX ?????? ?? u)(β 1 XXX ???? ?19 （ 由假設(shè) 3） (由假設(shè) 1) 即 這表明 ， OLS估計量 是無偏估計量 。 4． 高斯 馬爾科夫定理 對于 以及標(biāo)準(zhǔn)假設(shè)條件 （ 1） （ 4） ， 普通最小二乘估計量是最佳線性無偏估計量 （ BLUE） )1(?22??? ?Kne t?kβ,...β,β 10 uβ ?? XY25 我們已在上一段中證明了無偏性 ， 下面證明線性和最小方差性 。 由 OLS估計量 的公式 可知 , 可表示為一個矩陣和應(yīng)變量觀測值向量 的乘積： 其中 是一個 (K+1)*n 非隨機(jī)元素矩陣 。 ???? YXXX ??? ?? 1)(βY Yk??? XXXk ??? ? 1)(??26 現(xiàn)設(shè) 為 的任意一個線性無偏估計量 ， 即 其中 是一個 (K+1)*n非隨機(jī)元素矩陣 。 *? Yc?*?c ucXcuXcYc ????? ??? )(* ????XcuEcXcucXcEE?????)()()(*?? ?*)(E*? IXc ?I27 的方差為： 我們可將 寫成 從而將 的任意線性無偏估計量 與 OLS估計量 聯(lián)系起來 。 這就證明了 OLS估計量 是 的所有線性無偏估計量中方差最小的 。 ? ?)?()?()()(*)(2212122????????VarDDVarDDXXDDXXccVar????????????????DD ???30 第三節(jié) 擬合優(yōu)度 一 ． 決定系數(shù) R2 對于雙變量線性模型 Y=α +β X + u 我們有 其中 ， =殘差平方和 ? ?????? 222 1YYeR? 2e31 對于多元線性模型 我們可用同樣的方法定義決定系數(shù)： 為方便計算 ， 我們也可以用矩陣形式表示 R2 uXXY KK ????? ??? ...110? ?TSSRSSTSSESSRYYeR?????????112222或總變差解釋變差32 我們有：殘差 ， 其中 ， 殘差平方和： ?????????????????? YYeeene...21?? ? βXY )()(2?????????YYYYeee t)β()β( ?? ???? XYXY )β)(β( ?? ?????? XYX ???? ?????????? ββββ XXXYYXYY YXXXXXXYYXYY ???????????? ???? 1)(βββ????? βXYYY YXXYYXYY ?????????? ??? βββ33 而 將上述結(jié)果代入 R2的公式 ， 得到： ? ? 2222 YnYYYnYYY ?????? ??這就是決定系數(shù) R2 的矩陣形式。 由此可以推論 ， 決定系數(shù)是一個與解釋變量的個數(shù)有關(guān)的量： 解釋變量個數(shù)增加 ? 減小 ? R2 增大 也就是說 ， 人們總是可以通過增加模型中解釋變量的方法來增大 R2 的值 。 為此 ， 我們定義修正決定系數(shù) （ Adjusted ） 如下： 2R? 2e2R 2R35 是經(jīng)過自由度調(diào)整的決定系數(shù)，稱為修正決定系數(shù)。即 （ 3）當(dāng) K增大時，二者的差異也隨之增大。 2R 22 RR ? 22R ?2R? ? )1()1(1 222????????nYYKneR? ????????? 22)1()1(1YYKnen1)1)(1(1??????KnRn36 三 ． 例子 下面我們給出兩個簡單的數(shù)值例子 ， 以幫助理解這兩節(jié)的內(nèi)容 . 例 1 Yt = ?1 + ?2X2 t + ?3X3 t + u t 設(shè)觀測數(shù)據(jù)為： Y： 3 1 8 3 5 X2： 3 1 5 2 4 X3： 5 4 6 4 6 試求各參數(shù)的 OLS估計值 ， 以及 。 解： 下面改變 n的值 ， 看一看 的值如何變化 。 這與 R2不同 （ ）。 但在實際問題中 ， 變量間的關(guān)系并非總是線性關(guān)系 ， 經(jīng)濟(jì)變量間的非線性關(guān)系比比皆是 。 在這樣一些非線性關(guān)系中 ， 有些可以通過代數(shù)變換變?yōu)榫€性關(guān)系處理 ， 另一些則不能 。 ?? LAKQ ?43 一 . 線性模型的含義 線性模型的基本形式是 : 其特點(diǎn)是可以寫成每一個解釋變量和一個系數(shù)相乘的形式。 （ 2） 參數(shù)的線性 因變量 Y是各參數(shù)的線性函數(shù) 。例如 ， 對于 此方程的變量和參數(shù)都是線性的 。 ...,...3322114332221143322211?????????????ZZZYXXZXZXZXXXXY????????該關(guān)系即可以重寫為：只需定義45 參數(shù)的非線性是一個嚴(yán)重得多的問題 ， 因為它不能僅憑重定義來處理 。 例如 ， 需求函數(shù) 其中 ， Y=對某商品的需求 X=收入 P=相對價格指數(shù) ν =擾動項 可轉(zhuǎn)換為： ?? ?? PXY ? ???? logloglogloglog ???? PXY46 用 X,Y,P的數(shù)據(jù) ， 我們可得到 logY,logX和 logP,從而可以用 OLS法估計上式 。 [注釋 ] 彈性 （ elasticity） ：一變量變動 1%所引起的另一變量變動的百分比： 需求的收入彈性：收入變化 1%， 價格不變時 ， 所引起的商品需求量變動的百分比 。 YXXY ?????47 三 ． 例子 例 1 需求函數(shù) 本章 167。 現(xiàn)用這三個變量的對數(shù)重新估計 （ 采用同樣的數(shù)據(jù) ）， 得到如下結(jié)果 （ 括號內(nèi)數(shù)字為標(biāo)準(zhǔn)誤差 ） ： 回歸結(jié)果表明 ， 需求的收入彈性是 ,需求的價格彈性是 ， 這兩個系數(shù)都顯著異于 0。 著名的柯布 道格拉斯生產(chǎn)函數(shù) （ CD函數(shù) ） 為 用柯布和道格拉斯最初使用的數(shù)據(jù) （ 美國 18991922年制造業(yè)數(shù)據(jù) ） 估計經(jīng)過線性變換的模型 得到如下結(jié)果 （ 括號內(nèi)數(shù)字為標(biāo)準(zhǔn)誤差 ） ： 從上述結(jié)果可以看出 ， 產(chǎn)出的資本彈性是 ， 產(chǎn)出的勞動彈性為 。 對此方程采用對數(shù)變換 logM=loga+blog(r2) 令 Y=logM, X=log(r2), β 1= loga, β 2=b 則變換后的模型為： Yt=β 1+β 2Xt + ut 50 將