【正文】 Xt () () () () R2 = 其中： Y=人均儲(chǔ)蓄 ， X=人均收入 ， 請(qǐng)檢驗(yàn)兩時(shí)期是否有顯著的結(jié)構(gòu)性變化 。 90 第四章 習(xí)題 某經(jīng)濟(jì)學(xué)家試圖解釋某一變量 Y的變動(dòng) 。1?22??????? ? knXYYYkne t ??21 ?)( ??? XX88 涉及幾個(gè)參數(shù)的聯(lián)合假設(shè)檢驗(yàn)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 F= ～ F（ g， nk1） 其中 SR為有約束回歸的殘差平方和 ， S為無(wú)約束回歸 （ 全回歸 ） 的殘差平方和 。 這種檢驗(yàn)實(shí)際上是檢驗(yàn)所涉及的解釋變量是否對(duì)因變量有影響 。 對(duì)于僅存在變量非線性的模型 ， 可采用重新定義的方法將模型線性化 。 其方差 協(xié)方差矩陣為 Varcov（ ） =（ X’ X） 1?2 該矩陣主對(duì)角線元素為諸 的方差 。 四個(gè)季度的截距項(xiàng)分別為： ， ， ， 。 如上例中 ， 相當(dāng)于檢驗(yàn) H0: β 2=β 4=0 81 4． 季節(jié)虛擬變量的使用 許多變量展示出季節(jié)性的變異 (如商品零售額 、 電和天然氣的消費(fèi)等 )， 我們?cè)诮⒛Ｐ蜁r(shí)應(yīng)考慮這一點(diǎn) ， 這有兩種方法： （ 1） 在估計(jì)前對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行季節(jié)調(diào)整； （ 2） 采用虛擬變量將季節(jié)性差異反映在模型中 。 現(xiàn)引入虛擬變量 D, 將兩式并為一式： 其中 ， ???????????XYuXY21和平時(shí)期：戰(zhàn)時(shí)：β? uDXY ???? 210 ??? 0 戰(zhàn)時(shí)D= 1 平時(shí) 78 此式等價(jià)于下列兩式： }截距變動(dòng) ， 斜率不變 在包含虛擬變量的模型中 ， D的數(shù)據(jù)為 0， 0， 0， 0， 0，1， 1， 1， 1， 1。 上述各例都可以用兩種方法來(lái)解決 ， 一種解決方法是分別進(jìn)行兩類情況的回歸 ， 然后看參數(shù)是否不同 。 76 例 1：你在研究學(xué)歷和收入之間的關(guān)系 ， 在你的樣本中 ， 既 有女性又有男性 ， 你打算研究在此關(guān)系中 ， 性別是否 會(huì)導(dǎo)致差別 。 這樣一些變動(dòng)都可以用大家所熟悉的 01變量來(lái)表示 ， 用 1表示具有某一 “ 品質(zhì) ” 或?qū)傩?， 用 0表示不具有該 “ 品質(zhì) ” 或?qū)傩?。 故 ))(1()()?()()(1221200CXXCCXXCCVarCuVareVar?????????????????0e 0e?? )( )(000eSeeEe )1,0(~)(1 10 NCXXCe?????73 由于 為未知 ， 我們用其估計(jì)值 代替它 ， 有 則 的 95%置信區(qū)間為： （ 其中 ， ） ? )1(? 2 ??? ? kne t?)1(~)(1??100 ???????kntCXXCYY? CXXCtC 1 )(1???????? ??0?? YC ???0Y74 例 用書(shū)上 P79例 ， 預(yù)測(cè) X2=10， X3=10的 Y值 。 當(dāng)然 ， 要進(jìn)行預(yù)測(cè) ， 有一個(gè)假設(shè)前提應(yīng)當(dāng)滿足 ， 即擬合的模型在預(yù)測(cè)期也成立 。 當(dāng)然 ， 單個(gè)系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn) ， 如 H0： ?3=， 亦可用 t檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行檢驗(yàn) 。 結(jié)論： X1和 X3對(duì) Y無(wú)顯著影響 ? ? ? ? 162522530)1( ???????KnSgSSF R64 3． 全部斜率系數(shù)為 0的檢驗(yàn) 上一段結(jié)果的一個(gè)特例是所有斜率系數(shù)均為 0的檢驗(yàn) ， 即回歸方程的顯著性檢驗(yàn)： H0： β 1 =β 2 = … = β K = 0 也就是說(shuō) ， 所有解釋變量對(duì) Y均無(wú)影響 。 如果 H0為真 ， 則不管 X1, … Xg這 g個(gè)變量是否包括在模型中 ， 所得到的結(jié)果不會(huì)有顯著差別 ， 因此應(yīng)該有： S ≈ SR 如果 H1為真 ， 則由上一節(jié)中所討論的殘差平方和 ∑e2的特點(diǎn) ， 無(wú)約束回歸增加了變量的個(gè)數(shù) ， 應(yīng)有 S SR 通過(guò)檢驗(yàn)二者差異是否顯著地大 ， 就能檢驗(yàn)原假設(shè)是否成立 。 設(shè)要檢驗(yàn) g個(gè)系數(shù)是否為 0， 即與之相對(duì)應(yīng)的 g個(gè)解釋變量對(duì)因變量是否有影響 。 結(jié)論： ?顯著異于 0。 Y?Y??54 第五節(jié) 假設(shè)檢驗(yàn) 一 ． 系數(shù)的顯著性檢驗(yàn) 1． 單個(gè)系數(shù)顯著性檢驗(yàn) 目的是檢驗(yàn)?zāi)硞€(gè)解釋變量的系數(shù) β j是否為 0， 即該解釋變量是否對(duì)因變量有影響 。 2． 用這些參數(shù)值和 X觀測(cè)值數(shù)據(jù)計(jì)算 Y的各期預(yù)測(cè)值 （ 擬合 值 ） 。 52 四 ． 非線性回歸 模型 Y = a(X c)b 是一個(gè)非線性模型 ， a、 b和 c是要估計(jì)的參數(shù) 。 假如不給這一約束條件 ， 而是從給定的數(shù)據(jù)中估計(jì)該利率水平的值 ， 則模型變?yōu)椋? M = a(r c)b 式中 a,b,c均為參數(shù) 。 對(duì)此方程采用對(duì)數(shù)變換 logM=loga+blog(r2) 令 Y=logM, X=log(r2), β 1= loga, β 2=b 則變換后的模型為： Yt=β 1+β 2Xt + ut 50 將 OLS法應(yīng)用于此模型 ， 可求得 β 1和 β 2的估計(jì)值 從而可通過(guò)下列兩式求出 a和 b估計(jì)值： 應(yīng)當(dāng)指出 ， 在這種情況下 ， 線性模型估計(jì)量的性質(zhì) （ 如 BLUE,正態(tài)性等 ） 只適用于變換后的參數(shù)估計(jì)量 ， 而 不一定適用于原模型參數(shù)的估計(jì)量 和 。 現(xiàn)用這三個(gè)變量的對(duì)數(shù)重新估計(jì) （ 采用同樣的數(shù)據(jù) ）， 得到如下結(jié)果 （ 括號(hào)內(nèi)數(shù)字為標(biāo)準(zhǔn)誤差 ） ： 回歸結(jié)果表明 ， 需求的收入彈性是 ,需求的價(jià)格彈性是 ， 這兩個(gè)系數(shù)都顯著異于 0。 [注釋 ] 彈性 （ elasticity） ：一變量變動(dòng) 1%所引起的另一變量變動(dòng)的百分比： 需求的收入彈性：收入變化 1%， 價(jià)格不變時(shí) ， 所引起的商品需求量變動(dòng)的百分比 。 ...,...3322114332221143322211?????????????ZZZYXXZXZXZXXXXY????????該關(guān)系即可以重寫(xiě)為：只需定義45 參數(shù)的非線性是一個(gè)嚴(yán)重得多的問(wèn)題 ， 因?yàn)樗荒軆H憑重定義來(lái)處理 。 （ 2） 參數(shù)的線性 因變量 Y是各參數(shù)的線性函數(shù) 。 在這樣一些非線性關(guān)系中 ， 有些可以通過(guò)代數(shù)變換變?yōu)榫€性關(guān)系處理 ， 另一些則不能 。 這與 R2不同 （ ）。 2R 22 RR ? 22R ?2R? ? )1()1(1 222????????nYYKneR? ????????? 22)1()1(1YYKnen1)1)(1(1??????KnRn36 三 ． 例子 下面我們給出兩個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)值例子 ， 以幫助理解這兩節(jié)的內(nèi)容 . 例 1 Yt = ?1 + ?2X2 t + ?3X3 t + u t 設(shè)觀測(cè)數(shù)據(jù)為： Y： 3 1 8 3 5 X2： 3 1 5 2 4 X3： 5 4 6 4 6 試求各參數(shù)的 OLS估計(jì)值 ， 以及 。 為此 ， 我們定義修正決定系數(shù) （ Adjusted ） 如下： 2R? 2e2R 2R35 是經(jīng)過(guò)自由度調(diào)整的決定系數(shù)，稱為修正決定系數(shù)。 ? ?)?()?()()(*)(2212122????????VarDDVarDDXXDDXXccVar????????????????DD ???30 第三節(jié) 擬合優(yōu)度 一 ． 決定系數(shù) R2 對(duì)于雙變量線性模型 Y=α +β X + u 我們有 其中 ， =殘差平方和 ? ?????? 222 1YYeR? 2e31 對(duì)于多元線性模型 我們可用同樣的方法定義決定系數(shù)： 為方便計(jì)算 ， 我們也可以用矩陣形式表示 R2 uXXY KK ????? ??? ...110? ?TSSRSSTSSESSRYYeR?????????112222或總變差解釋變差32 我們有：殘差 ， 其中 ， 殘差平方和： ?????????????????? YYeeene...21?? ? βXY )()(2?????????YYYYeee t)β()β( ?? ???? XYXY )β)(β( ?? ?????? XYX ???? ?????????? ββββ XXXYYXYY YXXXXXXYYXYY ???????????? ???? 1)(βββ????? βXYYY YXXYYXYY ?????????? ??? βββ33 而 將上述結(jié)果代入 R2的公式 ， 得到： ? ? 2222 YnYYYnYYY ?????? ??這就是決定系數(shù) R2 的矩陣形式。 *? Yc?*?c ucXcuXcYc ????? ??? )(* ????XcuEcXcucXcEE?????)()()(*?? ?*)(E*? IXc ?I27 的方差為： 我們可將 寫(xiě)成 從而將 的任意線性無(wú)偏估計(jì)量 與 OLS估計(jì)量 聯(lián)系起來(lái) 。 由 OLS估計(jì)量 的公式 可知 , 可表示為一個(gè)矩陣和應(yīng)變量觀測(cè)值向量 的乘積： 其中 是一個(gè) (K+1)*n 非隨機(jī)元素矩陣 。 由上述結(jié)果 ， 我們有 ?????? β)?( XYYX? ??????????? βββ2 XXYXYYS0β)( ????SYXXX ??? ?β YXXX ??? ?? 1)(β18 YXXX ??? ?? 1)(β三 . 最小二乘估計(jì)