【正文】 行解釋。 — 賽德爾迭代 高斯－賽德爾迭代（ Gauss– Seidelmethod）是數(shù)值線性代數(shù)中的一個迭代法，可用來求出線性方程組解的近似值。前者稱為消去 或消元過程，后者稱回代過程。線性代數(shù)方面的計算方法就是研究求解線性方程組的一些數(shù)值解法與研究計算矩陣的特征值及特征向量的數(shù)值方法。 AX=B的數(shù)值計算方法。第二步消去 22a 下方元素， ......，第 n1 步消去 1n1na ， 下方元素。 把矩陣 A 分解成 ULDA ??? (6) 其中 ? ?nna,.. .,a,ad i a gD 2211? , U,L?? 分別為 A 的主對角元除外的下三角和上三角部分 ,于是 ,方程組 (1)便可以寫成 ? ? bUxxLD ??? 即 22 fxBx ?? 其中 ? ? ? ? bLDf,ULDB 1212 ?? ???? (7) 以 2B 為迭代矩陣構(gòu)成的迭代法 (公式 ) ? ? ? ? 221 fxBx kk ??? (8) 稱為高斯 — 塞德爾迭代法 (公式 ),用變量表示的形式 為 ???? ?,...,k,n,ixaxabax ijnij)k(jij)k(jijiii)k(i210211 11 111??? ???? ?? ????? (9) 《數(shù)值方法》實驗報告 3 矩陣中非零元素的個數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于矩陣元素的總數(shù)，并且非零元素的分布沒有規(guī)律，則稱該矩陣為稀疏矩陣 (sparse matrix)；與之相區(qū)別的是，如果非零元素的分布存在規(guī)律（如上三角矩陣、下三角矩陣、對角矩陣），則稱該矩陣為特殊矩陣。 可假定不需要行變換，而且可用第 k 行消去第 k+1 行的 xk。 +a2NxN=b2 aN1x1+aN2x2+k k k kj j j j j j j j j N Njjb a x a x a x a xa?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?， j=1， 2， relerr=err/(norm(X)+eps)。 3 實驗描述： （ 1）本實驗的目的為使用高斯 — 賽德爾迭代求解帶狀方程組； （ 2）由于實驗中的帶狀方程有極強(qiáng)的稀疏性和相似性，故編程時應(yīng)考慮該矩陣的以上特點以減少運算量及運行時占用的內(nèi)存； （ 3）為了減少 程序的運行次數(shù)，故選擇式（ 3）作為運行的程序； （ 4）應(yīng)無明確的結(jié)束標(biāo)志，故選擇 delta= 1xkkiix? ? 1e5 作為結(jié)束迭代的標(biāo)志，此時再進(jìn)行一輪迭代后輸出結(jié)果。 k=1 kmax1 jN j=1 Y N Y k=k+1 j=j+1 《數(shù)值方法》實驗報告 17 實驗結(jié)果： 表 x的解 x 1~10 379552381655 72846051999656 90229246013306 82216344361741 89418602397619 99853512481308 00887238901357 0015318846052 99947932669753 99978569134675 11~ j==1 X(1)=(B(1)A(1,2)*P(2))/A(1,1) j==N X(N)=(B(N)A(N,N1)*(X(N1))39。A(j,j+1)*P(j+1))/A(j,j) N Y N Y N Y N Y N Y 《數(shù)值方法》實驗報告 18 20 00001084251992 00002015766873 0000022610945 99999862385722 9999995873979 00000005302938 00000004390388 00000000239392 9999999966016 99999999925573 21~30 00000000017429 00000000009169 99999999999205 99999999999212 00000000009176 00000000017445 31~40 9999999992555 9999999966017 0000000023939 00000004390391 00000005302936 9999995873979 99999862385723 00000226109451 00002015766873 0000108425199 41~50 99978569134675 99947932669753 0015318846052 00887238901357 99853512481308 89418602397619 82216344361741 90229246013306 72846051999657 37955238165501 《數(shù)值方法》實驗報告 19 圖 11 實驗結(jié)論： 《數(shù)值方法》實驗報告 20 X 的值如上圖所示。n=0。 float *uptrbk(float**,int)。iN。i++) //輸出矩陣的解的列向量 X coutx[i+1]=x[i]endl。 N=N1。 //輸入系數(shù)矩 ?陣的值 for(i=0。i++) cinB[i]。 } //使用 LU法求解 X的函數(shù)， A為系數(shù)矩陣 ， B為計算結(jié)果， N為矩陣階數(shù) float *lufact(float **A,float *B,int N) { int i,j,k。i++) //將 A轉(zhuǎn)換為 LU { for(j=i+1。i=N。ji。 double *B。 B=buildB(N)。 } //使用 LU法求解 X的函數(shù)， A為系數(shù)矩陣， B為計算結(jié)果， N為矩陣階數(shù) double *lufact(double **A,double *B,int N) { int i,j,k。i=N。 } } for(i=0。i) //計算解 X的值 { for(j=N。i=N。 } //用于產(chǎn)生 1*N的列矩陣 B double *buildB(int N) { int i。 } 3 includeiostream includeiomanip include using namespace std。 float **A=new float *[N]。i=N。 //將 A轉(zhuǎn)換為 LU矩陣 for(i=0。 coutA的逆矩陣的值為 a： endl。 return 0。i++) //將 A轉(zhuǎn)換為 LU { k=i+1。 B[k]=a。 《數(shù)值方法》實驗報告 27 LU[j][i]=c。i++) if(i==n) B[i]=1。 } for(i=N。 //定義用于儲存數(shù)組的類 struct typeA { 《數(shù)值方法》實驗報告 28 double *A。 //生成用于存放解的數(shù)組 X typeA A,B。in1。 X=save(A,B,N,n1)。 double b。 //定義計算精度 double deltax=1。 m=0。j++) { if(jN) b=bX[j]*[m]。 //定義用于儲存數(shù)組的類 struct typeA { double *A。 //生成用于存放解的數(shù)組 X typeA A,B。in1。 X=save(A,B,N,n1)。 《數(shù)值方法》實驗報告 31 double b。 //定義 計算精度 double deltax=1。 m=0。j++) { if(jN) b=bX[j]*[m]