【正文】 (float **A,int *B,int N) { int i,j,k,a。 while(LU[i][i]==0amp。 k++。 } } return LU。 else B[i]=0。i=0。 int b。 cout請(qǐng)輸入矩陣的每行最大元素?cái)?shù)： 。i++) cin[i]。 //求解方程組 cout方程組的解為： endl。 deltan=int()。 bool run=true。 for(j=ideltan。 m++。 int b。 cout請(qǐng)輸入矩陣的每行最大元素?cái)?shù)： 。i++) cin[i]。 //求解方程組 cout方程組的解為： endl。 deltan=int()。 bool run=true。 for(j=ideltan。 m++。 《數(shù)值方法》實(shí)驗(yàn)報(bào)告 32 } 。j=i+deltan。i++) //使用高斯 — 賽德爾迭代計(jì)算方程組的解 X { b=[k]。 double delta=1e6。 } //用于計(jì)算方程組的解 double *save(typeA A,typeA B,int N,int n1) { int i,j,k,m,deltan。i++) cin[i]。 for(i=0。 double *X=new double [N1]。 } 4 includeiostream 《數(shù)值方法》實(shí)驗(yàn)報(bào)告 30 include using namespace std。j=i+deltan。i++) //使用高斯 — 賽德爾迭代計(jì)算方程組的解 X { b=[k]。 double delta=1e6。 } //用于計(jì)算方程組的解 double *save(typeA A,typeA B,int N,int n1) { int i,j,k,m,deltan。i++) cin[i]。 for(i=0。 double *X=new double [N1]。 } 3 includeiostream include using namespace std。 y[i]=B[i]。i=N。k++) LU[j][k]=LU[j][k]c*LU[i][k]。 B[i]=B[k]。i=N。 } system(pause)。i++) //若存在求解逆矩陣 invA[i]=LUsave(LU,B[i],i,N)。 LU=luchange(A,B,N)。 //輸入矩陣 A的值 for(i=0。 N=N1。 return B。 return A。 //生成二維動(dòng)態(tài)數(shù)組A[N1][N1] for(i=0。i=0。 U[j][i]=c。 for(i=0。 return 0。 A=buildA(N)。 double **A。i) //計(jì)算解 X的值 { for(j=N。 } } for(i=0。i=N。 return 0。i=N。 cout請(qǐng)輸入矩陣 A的值： endl。 //輸入矩陣的階數(shù)，用于生成動(dòng)態(tài)矩陣 cinN。iN。 //輸入增廣矩陣的值 for(i=0。 int i,k。 for(n=N2。n++) //進(jìn)行高斯 消元法計(jì)算 x[k]， k=1， 2，3 A(N1,N)*P(N))/A(N1,N1) X(j)=(B(j)A(j,j1)*X(j1)39。 p=1 N=length(B)。 N 的求解方法使用 LU 三角分解法求 《數(shù)值方法》實(shí)驗(yàn)報(bào)告 12 解，用此方法求解出各個(gè) Ek 對(duì)應(yīng)的 Ck，最后以此構(gòu)成 A1； (4)求出 LU 后，應(yīng)判斷矩陣對(duì)角線上是否存在為 0 的元素，若存在，則 A 不存在逆矩陣；若不存在，則可求解逆矩陣 A1； (5)上述方法中的 LU 分解只需要進(jìn)行一次； (6)對(duì)于程序的正確性使用矩陣 1 3 22 6 4251??????及矩陣 1 2 32132 3 1??????進(jìn)行驗(yàn)證，其中，矩陣 1 3 22 6 4251??????不存在逆矩陣，矩陣 1 2 32132 3 1??????的逆矩陣為 66 7 0 .58 33 5 33 3 16 7 0 .25 33 3 0 .08 33 5?????? 實(shí)驗(yàn)結(jié)果： （ 1）輸入為矩陣 1 3 22 6 4251?????? 圖 7 （ 2） 輸入 矩陣為 1 2 32132 3 1?????? 《數(shù)值方法》實(shí)驗(yàn)報(bào)告 13 圖 8 實(shí)驗(yàn)結(jié)論： 如果系數(shù)矩陣能分解為 LU的形式，其中 L為下三角矩陣， U為上三角矩陣，通過(guò)對(duì)系數(shù)矩陣的分解再求解可應(yīng)用簡(jiǎn)單的迭代進(jìn)行求解 x。P))。 N a1jxj+ aN2xN2+dN1xN1+cN1xN =bN1 aN1xN1+dNxN =bN 構(gòu)造一個(gè)程序求解三角形線性方程組。 由于新計(jì)算出的分量比舊分量準(zhǔn)確些，因此設(shè)想一旦新分量 ）（ 1k1X? ， ......， ）（ 1k1iX? 求出，馬上就用新分量 ）（ 1k1X? ， ......， ）（ 1k1iX? 代替雅可比迭代法中 k1X ， ......， ）（ k1iX 來(lái)求 ）（ 1kiX? 這就是高斯 賽德爾 (GaussSeidel)迭代法。 對(duì)一般的 n 階方程組，消去過(guò)程分 n1 步：第一步消去 11a 下方元素。 關(guān) 鍵 字 高斯消元法、三角分解法、高斯 賽德 爾迭代、稀疏矩陣 一、 實(shí)驗(yàn)?zāi)康? 、三角分解法、高斯 — 賽德爾迭代發(fā)的編程技巧。關(guān)于線性方程組的數(shù)值解法一般有兩類：直接法和迭代法。消去過(guò)程實(shí)際上是對(duì)增廣矩陣作行初等變換。 研究雅可比迭代法，我們發(fā)現(xiàn)在逐個(gè)求 ）（ 1kX? 的分量時(shí)，當(dāng)計(jì)算到 ）（ 1kiX? 時(shí) ,分量 ）（ 1k1X? ， ......， ）（ 1k1iX? 都已經(jīng)求得，而仍用舊分量 k1X ， ......， ）（ k1iX 計(jì)算 ）（ 1kiX? 。 3 《數(shù)值方法》實(shí)驗(yàn)報(bào)告 4 通過(guò)重復(fù)求解 N 各線性方程組 ACJ=EJ，其中 J=1， 2， … ， N 來(lái)得到 A1, 則 A[C1 C2 … CN]=[E1 E2 … EN] 而且 A1=[C1 C2 … CN] 保證對(duì) LU 分解只計(jì)算一次 ! 3 設(shè)有如下三角線性方程組，而且系數(shù)矩陣具 有嚴(yán)格對(duì)角優(yōu)勢(shì)： d1x1+c1x2 =b1 a1x1+d2x2+c2x3 =b2 a2x2+d3x3+c3x4 =b3 ajjxj+ +aNNxN=bN ( 1)kjx? = ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 12x1 2x2+x3 =5 2x1+12x22x3+x4 =5 x12x2+12x32x4+x5=5 x22x3+12x42x5+x6=5 A(j,j+1)*P(j+1))/A(j,j) j=j+1 Y N Y N N N Y Y k=k+1 《數(shù)值方法》實(shí)驗(yàn)報(bào)告 7 實(shí)驗(yàn)結(jié)果： 結(jié)果截圖 (1) errdelta)|(relerrdelta output end err=abs(norm(X39。 3 實(shí)驗(yàn)描述： （ 1）本次實(shí)驗(yàn)的目的為求解 A 的逆矩陣 A1，求解