【正文】 xaxaxaaxxaxaxaaxxaaxax高斯消去法 ： （ 1）消元過程 ： 對(duì) k=1,2, …, n 依次計(jì)算 )43()1n,1kj。一是用 逐次消去未知數(shù)的方法，把原來的方程組化為與其等價(jià)的三 角形方程組。第三章 線性代數(shù)方程組的數(shù) 值解法 引言 解線性方程組的消去法 解線性方程組的矩陣分解法 解線性方程組的迭代法 引言 給定一個(gè)線性方程組 )13(bAx ?????????????????????????????????????????????????nnnnnnnnnnijbbbbxxxxaaaaaaaaaaA?????????2121212222111211,)(這里求解向量 x。 用矩陣的觀點(diǎn)來看 ，就是用初等變換的方法將 方程組的系數(shù)矩陣進(jìn)行初等變換，即 ???????????????????????????????????????????????????61002141102123211511021402123211610245241312)b|A( 這樣就將系數(shù)陣化為單位三角陣，這個(gè)過程稱為“消元 過程”。n,2k,1ki(aaaa)1n。定理：若)n,2k(0aaaaD0aDkk1kk111k111?????????????????則消元法可進(jìn)行。—為上三角為單位下三角，的對(duì)角元?jiǎng)t唯一。,2,1()(11?? ???? ???knixabaxnjijjijiiii雅可比 （ Jacobi） 迭代 )243()2,1,0。 )313(1m a x)( 1 ??? ?? iniM ?? 迭代法的應(yīng)用說明 (1) 若系數(shù)矩陣非嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，采用等價(jià)變換使之約化為系數(shù)矩陣嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)的線性方程組，然后用雅可比迭代法或高斯 塞德爾迭代法求解。 nnJijJ mM ?? )()0(x推論 如果線性代數(shù)方程組 A x = b的系數(shù)矩陣 A 為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，即 )303(),2,1(1??? ???njijijii niaa ?則相應(yīng)的雅可比迭代法與高斯 塞德爾迭代法對(duì)任何初始向量 均收斂。 ),2,1(0 nkD k ???TL DLA ?L~TLLA ~~? （ 1）首先由 A 對(duì)稱正定知 ?????niin AD10?為對(duì)稱矩陣又 ),2,1(1111nkaaaaAkkkkk ??????????????????且對(duì)任何 k維非零向量 ,)(1)( Tkk xxx ?? ? 可得令 TknTkxx )00,( )(?? ?)()(0 kkTkT xAxAxx ??故 為 k 階對(duì)稱正定矩陣，所以 kA 0?? kk ADTTTTT DLULDUULDLUA ~~~)2( ????由惟一性得 TT LDLAUL ?? 所以,Tn LLALDLddddi agD~~,~),()3( 212121??? 則得令 ?證 以下推導(dǎo)平方根法和喬里斯基分解法的計(jì)算公式。 ???????????????? ???bLYYUXbL U XbAXLUUSAUSSASUSA 111?分解。 以上兩種消去法都是沿系數(shù)矩陣的主對(duì)角線元素 進(jìn)行的，即第 k次消元是用經(jīng)過前 k1次消元之后的系數(shù)陣位于（ k,k)位置的元素作除數(shù)，這時(shí)的 (k,k)位置上的元素可能為 0或非常小，這就可能引起過程中斷或溢出停機(jī)。n,3i(aaaa)1n,3j(a/aa)b,A)2(j2)1(2i)1(ij)2(ij)1(22)1(j2)2(j2)2()2( ：中個(gè)元素的計(jì)算公式為對(duì)于（ 一般地， 第 k步 ：即將矩陣變?yōu)槿缦? ???????????????????????????????????)3(1n3)2(1n2)1(23)1(1n1)1(13)1(12)1k()1k(a1aa10aaa1b,A ）（0k1k1kk),n,1kiaki,ak)1k(ik)1k(kk個(gè)元素變?yōu)樾械暮竺娓餍械冢刈優(yōu)閭€(gè)元行第這樣就將第倍（元素的行對(duì)應(yīng)行的元素減去第第行各元素除以對(duì)第???????????????????????????????????????????)3(1n3)2(1n2)1(23)1(1n1)1(13)1(12)1k()1k(a1aa10aaa1b,A ）（???????????????????????????????????)1n,1kj。 ??????????????5xx2xx421x23x21xI32323212 第二步：將方程 中第二個(gè)方程的兩邊除以 的系數(shù) 4 ?????????????????5xx21x41x21x23x21x323232112I 2x?????????????????5x4321x41x21x23x21x3323212 將第三個(gè)方程減去第二個(gè)方程： 第三步：為了一致期見，將第三個(gè)方程中的 系數(shù)變?yōu)?1， 除以 ????????????????6x21x41x21x23x21x3323211 我們來分析一下上述過程：整個(gè)過程分兩大步。 第一類是 直接法 。 二是解三角形方程組 ，稱為“回代過程”，整個(gè)過程 稱為“有回代過程的順序消元法”。,2k,1kj(a/aa)k(jk)1k(ki)1k(ji)k(ji)1k(kk)1k(jk)k(jk ?????????????????????????? (2) 回代過程 ： )53()1,1n,nk(xaaxaxn1kjj)k(jk)k(1nkk)n(1nnn??????????????????? 例 試用高斯消去法求解線性方程組 ?????????????542832852432121321xxxxxxxx? ????????????????????????????????????????????????0100542180328524bA?????????????消元過程為 解 即把原方程組等價(jià)約化為 ???????????0332321xxxxxx據(jù)之回代解得 ????????120123xxx為了避免回代的計(jì)算，我們可在消元過程中直接把系數(shù)矩陣 A約化為單位矩陣 I， 從而得到解，即 ? ? ? ?xIbA ?? ??? ?? 行初等變換相應(yīng)地，計(jì)算公式可表述為： 依次計(jì)算對(duì) ,2,1 nk ??)63()1,1。嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，即推論：若)n,2,1i(aaAnij1jijii????? ??? 消去法的可行性和計(jì)算工作量 定理 如果的各階順序主子式均不為零，即有 ),3,2(0,01111111 nkaaaaDaDkkkkk ??????????即消去法可行?；蚍纸獠晃ㄒ唬?guī)定了注：均為下，上三角陣）則的各階順序主子式定理：若C r o u tULD o o l it tleULULULLUAnkDAk.2.1,(),2,1(0??????Crout分解 （以四階為例） ??????????????44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaa???????????????1000u100uu10uuu1U342423141312???????????????44434241333231222111llll0lll00ll000lL4141313121211111lalalalaLUA???????421241413212313122122121121112lulalulalulaula???????4313421241412313321331312322132123131113lululalululaululaula?????????4434432442144141343324321431342422142124141114lulululaulululaululaula??????????4141313121211111alalalal????124142411231323212212122111212ulalulalulall/au??